Voici l’énoncé d’un exercice sur les polynômes de Tchebychev, c’est un exercice se rapportant au chapitre des polynômes et plus précisément de polynômes classiques. Il est nécessaire de connaitre les formules sur sinus et cosinus. C’est un exercice faisable en MPSI, PCSI ou PTSI.
Voici l’énoncé :

Polynôme de Tchebychev

Question 1

Nous allons faire une démonstration par l’absurde pour l’unicité. Supposons qu’il existe 2 polynômes P et Q vérifiant la propriété, c’est à dire :

\forall \theta \in \mathbb{R}, P(\cos(\theta)) = \cos(n\theta) = Q(\cos(\theta))

Comme la fonction cos est surjective, dans [-1,1], on a alors.

\begin{array}{l}
\forall x \in [-1;1], P(x) = Q(x)\\
\text{(On peut trouver } \theta \text{ tel que } x = \cos(\theta))\\
\Leftrightarrow \forall x \in [-1;1], P(x) - Q(x)=0\\
\end{array}

Le polynôme P-Q est donc nul sur [-1;1]. Il a donc une infinité de racines. C’est donc le polynôme nul. Et donc P-Q = 0 ce qui signifie que P = Q.

Passons maintenant à l’existence :

\begin{array}{l}
\cos(n\theta)\\
 = \Re(e^{in\theta})\\
=\Re((e^{i\theta})^n)\\
=\Re((\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n)\\
=\Re(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(\theta)^{n-k}(i\sin(\theta))^{k})\\
=\Re\left(\displaystyle \sum_{0 \leq 2k\leq n} \binom{n}{2k} \cos(\theta)^{n-2k}(i\sin(\theta))^{2k}\right)\\
+\Re\left(\displaystyle \sum_{0 \leq 2k+1\leq n} \binom{n}{2k+1} \cos(\theta)^{n-(2k+1)}(i\sin(\theta))^{2k+1}\right)\\
\text{(On a séparé les termes pairs et impairs)}\\
=\Re\left(\displaystyle \sum_{0 \leq 2k\leq n} \binom{n}{2k} \cos(\theta)^{n-2k}(-1)^k(\sin(\theta))^{2k}\right)\\
+\Re\left(i\displaystyle \sum_{0 \leq 2k+1\leq n} \binom{n}{2k+1} \cos(\theta)^{n-(2k+1)}(-1)^k(\sin(\theta))^{2k+1}\right)\\
\text{Le second terme est nul car il est imaginaire pur}\\
=\displaystyle \sum_{0 \leq 2k\leq n} \binom{n}{2k} \cos(\theta)^{n-2k}(-1)^k(\sin^2(\theta))^{k}\\
=\displaystyle \sum_{0 \leq 2k\leq n} (-1)^k\binom{n}{2k} \cos(\theta)^{n-2k}(1-\cos^2(\theta))^{k}\\
\end{array}

On a ainsi

T_n(\cos(\theta))= \cos(n \theta)  =\displaystyle \sum_{0 \leq 2k\leq n} (-1)^k\binom{n}{2k} \cos(\theta)^{n-2k}(1-\cos^2(\theta))^{k}\\

Qui est bien un polynôme en cos(θ), ce qui montre l’existence du polynôme sur [-1;1], puis sur ℝ par identification.

On a ainsi bien répondu à la question 1.

Question 2

On utilise les formules sur sinus et cosinus. Et notamment la formule produit-somme suivante :

\cos(a)\cos(b) = \dfrac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}

On va donc prendre a = nθ et b = θ :

\cos(n\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\cos(n\theta+\theta)+\cos(n\theta-\theta)}{2} = \dfrac{\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)}{2}

En faisant le lien avec Tn, on a donc :

T_n(\cos(\theta)) \cos(\theta) = \dfrac{T_{n+1}(\cos(\theta))+T_{n-1}(\cos(\theta))}{2}

Comme le résultat est valable sur [-1;1], il est valable par identification sur ℝ, on peut donc remplacer cos(θ) par X :

\begin{array}{l}
XT_n(X) = \dfrac{T_{n+1}(X)+T_{n-1}(X)}{2}\\ \\
\Leftrightarrow T_{n+1}(X)-2XT_n(X)  +T_{n-1}(X)=0\\
\Leftrightarrow T_{n+1}-2XT_n  +T_{n-1}=0
\end{array}

On a donc bien établi une relation de la formule voulue.

Question 3

On va établir une équation différentielle vérifiée par les polynômes de Tchebychev. On sait que

T_n(\cos(\theta)) = \cos(n\theta)

Si on dérive cette égalité :

-\sin(\theta)T_n'(\cos(\theta)) = -n\sin(n\theta)

Et si on dérive une seconde fois :

\begin{array}{l}
-\cos(\theta)T_n'(\cos(\theta))+\sin^2(\theta) T_n''(\cos(\theta)) = -n^2\cos(n\theta)\\
\Leftrightarrow \sin^2(\theta) T_n''(\cos(\theta)) -\cos(\theta)T_n'(\cos(\theta))+  n^2\cos(n\theta) =0\\
\Leftrightarrow (1-\cos^2(\theta)) T_n''(\cos(\theta)) -\cos(\theta)T_n'(\cos(\theta))+ n^2T_n(\cos(\theta))=0\\
\Leftrightarrow (1-X^2)T_n'' - XT_n' + n^2T_n = 0
\end{array}

Ce qui est l’équation différentielle recherchée.

Question 4

Prenons pour x

x_k = \cos\left(\dfrac{2k+1}{2n}\pi\right) , k \in \{0,\ldots,n-1\}

Ce qui correspond à

\theta_k = \dfrac{2k+1}{2n}\pi

On a alors

T_n(x) = T_n \left(\cos\left(\dfrac{2k+1}{2n}\pi\right)\right) = \cos\left(\dfrac{2k+1}{2}\pi\right) = 0

Les xk sont bien tous distincts car :

\begin{array}{l}
0 \leq x_k \leq\pi \text{ et}\\
\text{La fonction cosinus est décroissante sur } [0,\pi]
\end{array}

On a donc trouvé n racines qui sont les xk pour k compris entre 0 et n-1.

On laissera au lecteur la preuve par récurrence que Tn est de degré n. Voici donc les n racines de ce polynôme, on les a donc bien toutes.

Cet exercice vous a plu ?

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