Exercices corrigés : Topologie et espaces de fonctions

Ces exercices corrigés de topologies ont pour objectifs de déterminer si certains sous-ensembles de fonctions continues sont ouverts ou fermés. Ces exercices sont abordables en MP, MPI, PC et PSI. On pourra retrouver d’autres exercices corrigés de topologie sur notre site et des exercices non-corrigés ici.

Dans la suite, on considère E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) le \mathbb{R} -espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1] munit de la norme \| f \|_\infty = \mathrm{sup}_{t \in [0,1]} |f(t)| .

Exercice 1

Énoncé

L’ensemble A des fonctions de E valant 0 en 0 est-il un ouvert de E ? Est-il un fermé de E ?

Corrigé

L’ensemble E n’est pas ouvert. Soit \varepsilon > 0 et on considère la fonction

f_\varepsilon : \left( \begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
t & \longmapsto & f(t) +  \frac{\varepsilon}{2} \end{array} \right)

On a bien f_\varepsilon qui est continue comme somme de fonctions continues. De plus, on a f_\varepsilon(0) = \varepsilon \neq 0 et donc f_\varepsilon \notin A . Or, on a par construction que

\| f_\varepsilon - f \|_\infty \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon

Ainsi, pour tout élément f \in A et pour tout \varepsilon > 0 , on a construit un élément f_\varepsilon \in A^c \cap \mathcal{B}(f, \varepsilon) . Ainsi, l’ensemble A  n’est pas ouvert.

Montrons que l’ensemble A  est fermé. On va pour cela utiliser la caractérisation séquentielle des fermés (qui est la méthode la plus simple en général pour montrer qu’un ensemble est fermé). Soit en effet (f_n) une suite de fonctions de A qui converge vers f \in E pour la norme \| \cdot \|_\infty et montrons que f \in A .

La convergence pour la norme \| \cdot \|_\infty  correspond à la convergence uniforme et donc la suite (f_n) converge uniformément vers f . Or, la convergence uniforme implique la convergence simple (c’est-à-dire la convergence ponctuelle), on a donc

f(0) = \lim_{n \rightarrow + \infty} f_n(0) = 0

et on obtient ainsi que f(0) = 0  et on obtient le résultat annoncé. CQFD

Exercice 2

Énoncé

L’ensemble C des fonctions de E qui sont croissantes est-il un ouvert de E ? Est-il un fermé de E ?

Corrigé

L’ensemble C n’est pas un ouvert de E . Rappelons qu’un ensemble est ouvert si et seulement si son complémentaire est fermé. On va donc montrer que le le complémentaire de C n’est pas fermé. On cherche donc une suite de fonctions qui ne soient pas dans C mais dont la limite est dans C.

Pour cela, on considère pour n \in \mathbb{N} la suite de fonctions définie sur [0,1] par

f_n : t \longmapsto \frac{ \left( t- \frac{1}{2}  \right)^2}{n+1}

Pour tout n \in \mathbb{N} , les fonctions f_n sont bien des éléments du complémentaire de C (les fonctions sont toutes décroissantes sur \left[ 0, \frac{1}{2} \right] et croissantes sur \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] ). On a de plus

\forall t \in [0,1], | f_n(t) | \leq \frac{1}{n+1}

Et donc \| f_n \|_\infty \leq \frac{1}{n+1} , ce qui nous permet de dire que la suite (f_n) converge uniformément vers la fonction nulle, qui est croissante. Ainsi, l’ensemble C^c n’est pas fermé et donc C n’est pas ouvert.

Montrons que l’ensemble C est fermé de E . On va encore une fois utiliser la caractérisation séquentielle des fermé. Soit en effet (f_n) une suite de fonctions croissantes qui convergent vers f \in E . Montrons que  f  est croissante.

Soient donc x, y \in [0,1] tels que x < y . Du fait que (f_n) converge uniformément vers f , on a que (f_n) converge simplement vers f . De plus, pour tout n \in \mathbb{N} , f_n \in C , on obtient alors

f(y) - f(x) = \lim_{n \rightarrow + \infty} (f_n(y) - f_n(x)) \geq 0

et ainsi on a f(y) \geq f(x) et donc f est croissante. CQFD

Exercice 3

Énoncé

L’ensemble M des fonctions monotones de E est-il un ouvert de E ? Est-il un fermé de E ?

Corrigé

Le même contre-exemple que celui de l’exercice 2 nous permet de montrer que M n’est pas un ouvert de E . Montrons que M est un fermé de E .

On considère donc une suite (f_n) de  M qui converge vers f \in E . Montrons que f est monotones. La suite (f_n) étant une suite de M , pour tout n \in \mathbb{N} on a que la fonction f_n est croissante ou décroissante. Ainsi, ou bien il y a un nombre fini de fonction f_n qui sont décroissante, ou bien un nombre fini qui sont croissantes, ou bien il y a un nombre infini de fonctions f_n qui sont croissantes et un nombre infinis de f_n qui sont décroissantes.

Dans le premier cas, on a qu’il existe un entier n_0 \in \mathbb{N} tel que pour tout n \geq n_0 , on ait que la fonction f_n est croissante. On conclu alors de manière similaire à l’exercice 2 que la fonction f est croissante. Le cas d’un nombre fini de fonctions croissantes est similaire (il suffit de considérer la suite (-f_n) et de se ramener au cas précédent).

Si la suite (f_n) possède une infinité de fonctions croissantes et décroissantes, il existe alors une sous-suite (f_{\varphi(n)}) de (f_n) constituée de fonctions croissantes et une sous-suite (f_{\psi(n)}) de (f_n) constituée de fonctions décroissantes. Or, chacune de ces deux sous-suites convergent uniformément vers la fonction f . Ainsi, on a d’une part que la limite f est croissante et d’autre part qu’elle est décroissante. Ainsi, f est constante, et donc entre-autre elle est monotone. D’où le résultat annoncé dans les trois cas. CQFD

Exercice 4

Énoncé

L’ensemble D  des fonctions dérivables sur [0,1] est-il un ouvert de E ? Est-il un fermé de E ?

Corrigé

L’ensemble D n’est pas un ouvert de E . Pour se faire, montrons D^c n’est pas fermé. Pour tout n \in \mathbb{N} , on considère la fonction

f_n : \left( \begin{array}{ccc}
[0,1] & \longrightarrow & \mathbb{K} \\
t & \longmapsto & \frac{ \left| t - \frac{1}{2} \right|}{n+1}
\end{array} \right)

Pour tout n \in \mathbb{N} , la fonction f_n est continue sur [0,1] mais n’est pas dérivable en \frac{1}{2} et on a \| f_n \|_\infty \leq \frac{1}{n+1} . Ainsi, la suite (f_n) converge vers la fonction nulle qui est bien dérivable sur [0,1] . L’ensemble D n’est donc pas ouvert dans  E .

L’ensemble D n’est pas fermé dans E . Pour le voir, on considère pour tout n \in \mathbb{N} , la fonction

f_n : \left( \begin{array}{c c c}
[0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
t & \longmapsto & \sqrt{\left( t - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac
{1}{n}}
\end{array} \right)

La suite (f_n) est bien dans D . Montrons qu’elle converge vers la fonction f : t \mapsto \left| t - \frac{1}{2} \right| \notin D . Il est clair que (f_n) converge simplement vers f . De plus, pour tout t \in [0,1] , on a que

\begin{align*}
|f(t) - f_n(t)| &= \left| \sqrt{ \left( t - \frac{1}{2} \right)^2} - \sqrt{\left( t - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{n}} \right| \\
&= \left| t - \frac{1}{2} \right| \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n}} \right) \\
&\leq \frac{1}{\sqrt{n}}

\end{align*}

On obtient donc que \| f_n - f \|_\infty \leq \frac{1}{\sqrt{n}} et donc on a bien que la suite (f_n) , qui est une suite de D , converge uniformément vers la fonction f \notin . On a bien le résultat annoncé précédemment. CQFD

Exercice 5

Énoncé

L’ensemble R des fonctions polynomiales de  [0,1] dans \mathbb{R} est-il un ouvert de E ? Est-il un fermé de E ?

Corrigé

L’ensemble R n’est pas ouvert dans E . En effet, soit \varepsilon > 0 . On sait d’une part que la fonction nulle est polynomiale. D’autre part, on consière la fonction f_\varepsilon définit sur \left[0, \varepsilon \right] par f_\varepsilon(t) = \frac{\varepsilon}{2} - t et nulle sur [\varepsilon, 1] . Alors f_\varepsilon  est continue, n’est pas polynomiale (celle-ci s’annule une infinité de fois) et on a

\forall \varepsilon > 0, f_\varepsilon \in \mathcal{B}\left( 0, \varepsilon \right) \cap R^c

L’ensemble R n’est donc pas un ouvert de E .

L’ensemble R n’est pas fermé dans E . En effet, considérons la suite (f_n) définie par

f_n : t \longmapsto \sum_{k=0}^n \frac{t^k}{k!}

On sait que la suite (f_n) converge simplement vers t \mapsto e^t . L’inégalité de Taylor-Lagrange nous permet de conclure quant au fait que (f_n) converge bien uniformément vers t \mapsto e^t . Une autre manière de le voir est de remarquer que pour tout t \in [0,1] on a

| f_n(t) - e^t| = \sum_{k=n+1}^{+ \infty} \frac{t^n}{k!} \leq \frac{1}{n+1} \sum_{k=n}^{+ \infty} \frac{1}{k!} \leq \frac{e}{n+1}

Il suffit donc de montrer que la fonction exponentielle n’est pas polynomiale. Par l’absurde, si elle l’était, du fait que sa limite en - \infty est 0, celle-ci serait la fonction nulle, ce qui n’est pas le cas. Ainsi, l’ensemble R n’est pas fermé dans  E . CQFD

Exercice 6

Énoncé

L’ensemble N des fonctions de E non-nulle en 0 est-il un ouvert de E ? Est-il un fermé de E  ?

Corrigé

Si l’on a fait l’exercice 1, les deux questions sont très rapides ( N est ouvert mais n’est pas fermé). On va quand même le faire en imaginant ne pas avoir fait l’exercice 1.

L’ensemble N  est ouvert. Soit en effet f \in N et notons a := f(0) \neq 0 . Alors pour tout g \in \mathcal{B}\left( f, \frac{a}{2} \right) , on a pour tout t \in [0,1]

| f(t) - g(t) | \leq \frac{a}{2} 

En particulier, en 0, on a que |a - g(0)| \leq \frac{a}{2} et donc g(0) \neq 0 et d’où \mathcal{B} \left( f, \frac{a}{2} \right) \subset N , ce qui nous montre que N  est ouvert dans E .

L’ensemble N n’est pas fermé dans E . Il suffit pour cela de considérer la suite de fonction définie pour tout n \in \mathbb{N} par f_n : t \mapsto \frac{1}{n} . CQFD