Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 sont un ensemble de suites qui sont assez faciles à résoudre, ce que nous allons faire dans cet article ! Il y a 3 cas possibles que nous allons détailler.
Principe général
Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 est une suite (u_n)_{n \in \N} définies par ses deux premiers termes u_0 et u_1 et par une relation de la forme u_{n+2} +au_{n+1} + bu_n= 0
La résolution de ce type de suites consiste à chercher des solutions de la forme r^n , ce qui nous amène à résoudre dans tous les cas r^{n+2} + a r^{n+1} + b r^n = 0 \iff r^{2} + ar + b =0 . Cette équation s’appelle l’équation caractéristique. Puis, on calcule le discriminant \Delta . A partir de là, on va distinguer 3 cas, que nous allons détailler sur la suite
Cas 1 : Δ > 0
Dans ce cas là, on a 2 racines r_1 et r_2 . Les solutions sont alors de la forme
\exists \alpha,\beta \in \mathbb{K}, u_n = \alpha r_1^n + \beta r_2 ^nOn finit de résoudre en utilisant les conditions initiales ce qui va nous donner 2 équations.
Exercice détaillé
Un premier exemple est celui de la suite de Fibonacci, que je vous invite à aller voir :
Détaillons un deuxième exercice
On cherche d’abord à résoudre l’équation caractéristique, on réécrit la suite sous la forme u_{n+2} -3 u_{n+1} +2u_n = 0 . L’équation caractéristique s’écrit alors r^2 - 3r+2 = 0 . On calcule alors \Delta
\Delta = (-3) ^2 -2 \times 4 = 1
On trouve alors les 2 solutions :
\left\{
\begin{array}{ll}
r_1 = \dfrac{3 -1}{2}= 1\\
r_2 = \dfrac{3+1}{2} = 2
\end{array}
\right.La solution est donc de la forme u_n = \alpha 1^n + \beta 2^n . Il s’agit maintenant de trouver \alpha et \beta :
- Si on remplace par n = 0, on obtient u_0 = 1 = \alpha + \beta
- Si on remplace par n = 1, on obtient u_1 = 3 = \alpha + 2\beta
On a donc le système suivant :
\begin{array}{ll}
& \left\{
\begin{array}{ll}
\alpha + \beta = 1\\
\alpha + 2\beta = 3
\end{array}
\right. \\
\iff & \left\{
\begin{array}{ll}
\alpha + \beta = 1\\
\beta = 3-1 = 2
\end{array}
\right. \\
\iff & \left\{
\begin{array}{ll}
\alpha = 1-\beta =-1\\
\beta = 2
\end{array}
\right. \\
\end{array} La suite s’écrit donc \forall n \in \N, u_n = 2.2^n - 1 = 2^{n+1}-1
Cas 2 : Δ = 0
Dans ce cas là, on a 1 racine double que l’on note r. Les solutions sont alors de la forme
\exists \alpha,\beta \in \mathbb{K}, u_n = (\alpha+\beta n) r^n On finit de résoudre en utilisant les conditions initiales ce qui va nous donner 2 équations.
Exemple détaillé
Détaillons un exemple
On cherche d’abord à résoudre l’équation caractéristique, on réécrit la suite sous la forme u_{n+2} -4 u_{n+1} +4u_n = 0 . L’équation caractéristique s’écrit alors r^2 - 4r+4 = 0 . On reconnait une identité remarquable :
(r-2)^2 = 0
On trouve la solution r_2 = 2
La solution est donc de la forme u_n = (\alpha + n\beta) 2^n . Il s’agit maintenant de trouver \alpha et \beta :
- Si on remplace par n = 0, on obtient u_0 = 1 = \alpha
- Si on remplace par n = 1, on obtient u_1 = 1 = (\alpha + \beta)\times 2 = 2\alpha+2\beta
On a donc le système suivant :
\begin{array}{ll}
& \left\{
\begin{array}{ll}
\alpha = 1\\
2\alpha + 2\beta = 1
\end{array}
\right. \\
\iff & \left\{
\begin{array}{ll}
\alpha = 1\\
\beta = \dfrac{1}{2}-\alpha = -\dfrac{1}{2}
\end{array}
\right.
\end{array} La suite s’écrit donc \forall n \in \N, u_n = (1- \dfrac{n}{2}) 2^n
Cas 3 : Δ < 0
Dans ce cas là, on a 2 racines complexes conjuguées double que l’on note r_1 = a+ ib et r_2= a-ib. Les solutions sont alors de la forme
\exists \alpha,\beta \in \mathbb{K}, u_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^nSi les solutions que l’on chercher sont réelles, on peut écrire cette solution autrement. En notant \lambda = |r_1| et \theta = \arg (r_1)
\exists \alpha,\beta \in \mathbb{R}, u_n =\lambda^n ( \alpha cos(\theta n) + \beta \sin(\theta n))Une fois de plus, on finit de résoudre en utilisant les conditions initiales ce qui va nous donner 2 équations.
Exemple détaillé
Détaillons un exemple
On cherche d’abord à résoudre l’équation caractéristique, on réécrit la suite sous la forme u_{n+2} -2 u_{n+1} +2u_n = 0 . L’équation caractéristique s’écrit alors r^2 - 2r+2 = 0 . On calcule ensuite le discriminant
\Delta = 2^2 - 4\times 2 = - 4
On trouve 2 solutions :
\begin{array}{ll}
r_1 = \dfrac{2+2i}{2} = \dfrac{1+i}{2}\\
r_2 = \dfrac{2-2i}{2} = \dfrac{1-i}{2}\\
\end{array}On a |r_1| = \sqrt{2}, \arg(r_1) = \dfrac{\pi}{4}. La solution réelle est donc de la forme u_n = \sqrt{2}^n\left(\alpha \cos\left(n \dfrac{\pi}{4} \right) + \beta \sin\left(n \dfrac{\pi}{4} \right)\right). Il s’agit maintenant de trouver \alpha et \beta :
- Si on remplace par n = 0, on obtient u_0 =2 = \alpha
- Si on remplace par n = 1, on obtient u_1 = 1 = \sqrt{2}\left(\alpha \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) + \beta \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)\right)= \alpha + \beta
On a donc le système suivant :
\begin{array}{ll}
& \left\{
\begin{array}{ll}
\alpha = 2\\
\alpha + \beta = 1
\end{array}
\right. \\
\iff & \left\{
\begin{array}{ll}
\alpha = 1\\
\beta = 1-\alpha = -1
\end{array}
\right.
\end{array} La suite s’écrit donc \forall n \in \N, u_n =\sqrt{2}^n\left(2\cos\left(n \dfrac{\pi}{4} \right) - \sin\left(n \dfrac{\pi}{4} \right)\right)
