Le changement de variable : Cours et exercices corrigés

Le changement de variable est une méthode qui permet de calculer des intégrales dans de nombreux cas. Voyons ensemble le théorème du changement de variable

Le théorème du changement de variable

Soit \varphi \in C^0 ( ]a,b[) . Soit f \in C^0( ]a,b[) . On cherche à calculer \displaystyle \int_a^b f(t) dt . Soit \alpha = \displaystyle \lim_{x \to + a^+} \varphi(t), \beta = \lim_{x \to + b^-} \varphi(t) . Alors, sous réserve de convergence.

\int_a^b f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = \int_{\alpha}^{\beta} f(u) du

La méthode du changement de variable en pratique

Lorsqu’on effectue un changement de variable en pratique, au delà des ensembles de définition souvent évidents, il faut vérifier 3 éléments :

• Changer les bornes
• Changer la variable à l’intérieur de l’intégrale
• Changer le “dt”. Les exercices corrigés vont vous aider à comprendre.

Par contre, pour trouver quel changement de variable il faut faire, il faut avoir une bonne intuition. Et cette intuition vient par la pratique. Je vous conseille de faire autant de calculs d’intégrales possibles pour connaitre les bons changements de variable à poser.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Calculer l’intégrale suivante : \displaystyle \int_0^2 \dfrac{e^t}{1+e^t} dt

Corrigé : On va faire le changement de variable u = 1+e^t :

• On change les bornes :
  • 0 devient 1+ e^0 = 2
  • 2 devient 1+e^2
• On change le dt. On a u = 1+e^t \iff e^t = u-1 \iff t = \ln(u-1) . D’où dt = \dfrac{1}{u-1}du. Pour avoir ce résultat, on a dérivé de chaque côté et “multiplié” par du et dt. A gauche, la dérivée de t \mapsto t est t \mapsto 1 donc on obtient dt. Et on fait de manière similaire à droite.
• On change ensuite à l’intérieur de l’intégrale. Finissons donc le calcul :

\begin{array}{ll}
 \displaystyle \int_0^2 \dfrac{e^t}{1+e^t} dt  &=  \displaystyle \int_2^{1+e^2} \dfrac{u-1}{u} \dfrac{1}{u-1}du\\
&=  \displaystyle \int_2^{1+e^2} \dfrac{1}{u} du\\
&= \left[\ln(u) \right]_2^{1+e^2}\\
& = \ln(1+e^2) -\ln(2)\\
&= \ln \left( \dfrac{1+e^2}{2}\right)
\end{array}

Exercice 2

Enoncé : Calculer l’intégrale suivante : \displaystyle \int_0^{\pi} \dfrac{\sin(t)}{1+\cos^2(t)} dt

Corrigé : On va faire le changement de variable u = \cos(t) :

• On change les bornes :
  • 0 devient \cos(0) = 1
  • \pi devient \cos(\pi) = -1
• On change le dt. On a u =\cos(t) . D’où du = -\sin(t) dt. Et donc on peut directement jour sur le numérateur.
• On change ensuite à l’intérieur de l’intégrale. Finissons donc le calcul :

\begin{array}{ll}
 \displaystyle \int_0^{\pi} \dfrac{\sin(t)}{1+\cos^2(t)} dt  & =  \displaystyle \int_1^{-1} \dfrac{-du}{1+u^2} du\\
& =  \displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{1}{1+u^2} du\\
& =  \left[ \arctan(u) \right]_{-1}^1 \\
& = \dfrac{\pi}{4} - \left( - \dfrac{\pi}{4} \right)\\
& = \dfrac{\pi}{2}
\end{array}

Exercice 3

Enoncé : Calculer l’intégrale suivante : \displaystyle \int_0^{3} \dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1+t}}} dt

Corrigé : On va poser u = \sqrt{1+t} :

• On change les bornes :
  • 0 devient \sqrt{1+0} = 1
  • 3 devient \sqrt{1+3} = 2
• On change le dt. On a u =\sqrt{1+t} \iff u^2 = 1+t \iff t = u^2 -1 . D’où 2udu = dt.
• On change ensuite à l’intérieur de l’intégrale. Continuons donc le calcul :

\begin{array}{ll}
 \displaystyle \int_0^{3} \dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1+t}}} dt  & =  \displaystyle \int_1^{2} \dfrac{2u}{\sqrt{1+u}} du\\

\end{array}

On va faire un second changement de variable en posant : v = \sqrt{1+u}. A nouveau, on a :

• On change les bornes :
  • 1 devient \sqrt{1+1} = \sqrt{2}
  • 2 devient \sqrt{1+2} = \sqrt{3}
• On change le du. On a v =\sqrt{1+u} \iff v^2 = 1+u \iff u = v^2 -1 . D’où 2vdv = du.
• On change ensuite à l’intérieur de l’intégrale. Continuons donc le calcul :

\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_1^{2} \dfrac{2u}{\sqrt{1+u}} du  & =  \displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \dfrac{2(v^2-1)}{v} 2dv\\
& =  \displaystyle 4\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} v^2-1dv\\
& =  \displaystyle 4\left[\dfrac{v^3}{3}-v \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\\
& =  \displaystyle 4\left(\dfrac{\sqrt{3}^3}{3}-\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}^3}{{3}}+\sqrt{2}\right)\\
& =  \displaystyle 4\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{2}}{{3}}+\sqrt{2}\right)\\
&= \dfrac{4\sqrt{2}}{3}
\end{array}

Découvrez tous nos exercices de changements de variable pour vous entrainer :