Continuité uniforme : Cours et exercices corrigés

Dans cet article, nous allons définir la notion de continuité uniforme avec la définition et des exercices corrigés pour appliquer cette notion.

Prérequis

• La continuité

Continuité uniforme : Définition

Soit I un intervalle de \R. Soit f: I \to \R. f est uniformément continue si et seulement si

\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 , \forall x_0 \in I, \forall x \in I, |x -x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_0) | < \varepsilon 

Pour rappel, la définition de la continuité était :

\forall \varepsilon > 0, \forall x_0 \in I, \exists \delta > 0 , |x -x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_0) | < \varepsilon 

Donc on a inversé les quantificateurs : pour la continuité \delta dépend du x_0 choisi tandis que dans la continuité uniforme, \delta doit correspondre à tous les x_0 et donc ne correspond plus à un x_0 en particulier.

A noter : Toute fonction uniforménet continue est nécessairement continue

Un théorème permet d’avoir, sous certaines conditions, qu’une fonction continue est uniformément continue. Il s’agit du théorème de Heine que je vous invite à aller lire.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé

Montrer que x \to \sqrt{x} est uniformément continue.

Corrigé

Il s’agit donc de chercher un \delta qui correspond à un \varepsilon donné. Donc prenons \varepsilon > 0 [\katex]. On suppose donc que</p> <div class="wp-block-katex-display-block katex-eq" data-katex-display="true"><pre>\begin{array}{ll} &|\sqrt{x}- \sqrt{x_0}| \leq \varepsilon \\ \iff &\dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{x_0}}{\sqrt{x}- \sqrt{x_0}} |\sqrt{x}- \sqrt{x_0}| \leq \varepsilon\\ \iff &\dfrac{|x-x_0|}{\sqrt{x}+ \sqrt{x_0}} \leq \varepsilon \\ \iff &|x-x_0| \leq \varepsilon ( \sqrt{x}+ \sqrt{x_0}) \end{array}</pre></div> <p>Or, [katex] \sqrt{x}+ \sqrt{x_0} \geq \sqrt{x} \geq |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}|\geq \varepsilon .

Donc si on prend \delta = \varepsilon^2 , on a :

|x-x_0| \leq \delta = \varepsilon ^2 \leq \varepsilon  |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| \leq \varepsilon ( \sqrt{x}+ \sqrt{x_0}) 

ce qui correspond bien à ce que l'on cherchait.

Exercice 184

Enoncé

Corrigé

Pour résoudre cet exercice, on va utiliser le théorème de Heine. On va fixer \varepsilon > 0

Tout d'abord, on se place sur [0;T]. Le théorème de Heine nous dit que

\exists \delta > 0 , \forall x,x_0 \in [0;T], |x-x_0 | \leq \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)| \leq \varepsilon

Cette propriété, par T-périodicité est donc valable sur tout intervalle de la forme [nT;(n+1)T]. De plus, en se plaçant sur \left[-\dfrac{T}{2};\dfrac{T}{2} \right]

\exists \delta' > 0 , \forall x,x_0 \in \left[-\dfrac{T}{2};\dfrac{T}{2} \right], |x-x_0 | \leq \delta' \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)|\ \leq \varepsilon

Cette propriété est valable sur tout intervalle de la forme \left[nT-\dfrac{T}{2};nT+\dfrac{T}{2} \right] .

Posons maintenat \delta'' = \min(\delta, \delta', T) . Si on prend x,x_0 tels que |x-x_0| \leq \delta'' alors x et x_0 appartiennent au même intervalle de la forme [nT;(n+1)T] ou \left[nT-\dfrac{T}{2};nT+\dfrac{T}{2} \right] . Donc soit on est dans le premier cas et on a :

|x-x_0|\leq \delta'' \Longrightarrow |x-x_0 | \leq \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)|\ \leq \varepsilon

Soit on est dans le second cas et on a

|x-x_0|\leq \delta'' \Longrightarrow |x-x_0 | \leq \delta' \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)|\ \leq \varepsilon

Dans tous les cas et en conclusion, on a

\forall x,x_0 \in \R, |x-x_0 | \leq \delta'' \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)| \leq \varepsilon

Comme \varepsilon > 0 a été choisi arbitrairement, le raisonnement est valable pour tout \varepsilon > 0 ce qui permet de conclure cet exercice la continuité uniforme.

Exercice 474

Enoncé

Corrigé

Traduisons d'abord mathématiquement l'affirmation \lim_{ n \to +\infty} f(n) =+\infty :

\forall M > 0, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N,  n\geq n_0\Longrightarrow f(n) \geq M 

Maintenant, fixons un M, et prenons \varepsilon =1 . La continuité uniforme nous donne

\exists \delta >0, \forall x,x_0 \in \R_+, |x-x_0 | < \delta \Longrightarrow | f(x) - f(x_0) | < \varepsilon = 1 

On va poser

k = \left\lfloor \dfrac{1}{\delta} \right\rfloor +1 

Maintenant, soit x \geq n_0 et soit n =\lfloor x \rfloor . On sait que

\exists l \in \{0, \ldots, k\} , l\delta < |x-n| \leq (l+1) \delta

Ainsi,

\begin{array}{ll}
|f(x) - f(n) | &\displaystyle \leq \sum_{i=0}^{l-1} |f(n+(i+1)\delta)-f(n+i \delta)| +|f(x) - f(l\delta)|\\
&\displaystyle \leq \sum_{i=0}^{l-1} 1 +1=l+1\\

\end{array}

Ainsi, on en déduit que

f(x) \geq f(n) - (l+1) \geq M - (k+1)

avec M et k définis plus hauts. En posant M' = M-(k+1), on obtient :

\forall M'  > 0, \exists x_0 \in \N, \forall x \in \R_+,  x\geq x_0\Longrightarrow f(x) \geq M 

Ce qui conclut cet exercice et permet d'arriver à la conclusion :

\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty