Exercice corrigé: Les sous-groupes additifs de R

L’étude des sous-groupes additifs de R est un grand classique que nous allons étudier ici.
Groupes - image de couverture

L’étude des sous-groupes additifs de \mathbb{R} est un grand classique que nous allons étudier ici.

Enoncé

Corrigé

Corrigé – Question 1

Soit H un sous groupe additif de \mathbb{R} . Si H = \{0\} alors H est de la forme a \mathbb{Z} avec a = 0.

Considérons H un sous groupe non trivial de ( \mathbb{R} ,+). Alors il existe x \in H, x >0 (En effet, puisque H non trivial, il existe y \in H non nul. Si y>0 c’est bon, sinon, par existence du symétrique dans un groupe, en posant x= -y, x est dans H et x >0)

Ainsi l’ensemble : A = \{ x \in H, \; x>0\} est non vide, par ailleurs A est minoré, on peut alors définir a = \inf A.

Cas a > 0

Supposons a > 0, montrons que H = a \mathbb{Z}

Montrons tout d’abord que a est un minimum, a = \min A. Raisonnons par l’absurde, supposons que a n’est pas un minimum, i.e a n’appartient pas à H. Alors par définition de la borne inférieure il existe h_1,h_2 \in H, a<h_{1}<h_{2}< (a + \frac{a}{2}) . Fixons de tels h_{1}, h_{2} . Puisque H est un groupe, h_{2} - h_{1} \in H or 0<h_{2} - h_{1}<a d’où une contradiction avec la définition de a. Ainsi a= min A, a appartient à H.

De cela découle que a\mathbb{Z} \subset H . Réciproquement, soit

h \in H fixé quelconque. Effectuons la division pseudo-euclidienne de h par a. Il existe (q,r) \in \mathbb{Z} \times [0,a[ tel que h = aq + r i.e r = h – aq donc r \in H . Or 0 \leq r <a d’où par définition de a, r = 0. c’est à dire, h = aq donc

h \in a\mathbb{Z} d’où H \subset a\mathbb{Z} on obtient ainsi l’égalite cherchée.

Cas a = 0

On va chercher à montrer que H est dense dans \mathbb{R} .

Soit x \in \mathbb{R}, \varepsilon >0 fixés quelconques. Il existe h \in H, 0 < h < \varepsilon car \inf A = 0 . Fixons un tel h. On a h - x>-\lfloor\frac{x}{h} \rfloor * h\geq -x. On a alors : 0<x -\lfloor \frac{x}{h} \rfloor* h < \varepsilon avec \lfloor \frac{x}{h} \rfloor* h \in H. Ainsi, H est dense dans \mathbb{R}

Finalement nous avons montré que les sous-groupes additifs de \mathbb{R} sont soit de la forme a\mathbb{Z} soit dense dans \mathbb{R}

Corrigé – Question 2

Soit f une fonction continue à la fois 1-périodique et \pi- périodique.

Soit, k,l \in \mathbb{N} fixés quelconques. Alors, par \pi-périodicité, f(k + l\pi) =f(k) . Puis par 1-périodicité, f(k)=f(0). Ainsi, f est constante sur \mathbb{Z} + \pi \mathbb{Z} .

Montrons que H= \mathbb{Z} + \pi\mathbb{Z} est dense dans \mathbb{R}. On observe que H est un sous groupe additif de \mathbb{R} .

Par l’absurde, supposons que H n’est pas dense dans \mathbb{R} . Alors d’après le résultat question 1, il existe a>0, tel que H = a\mathbb{Z} . D’une part 1\in H, il existe donc p \in \mathbb{Z}, \; 1 = ap. On en déduit que a est rationnel. Par ailleurs, \pi \in H, donc il exise q \in \mathbb{Z}, \pi = aq , c’est à dire que \pi est rationnel, d’où une contradiction.

Ainsi H est dense dans \mathbb{R} . Finalement, f est une fonction continue sur \mathbb{R} et constante sur H, une partie dense de \mathbb{R} donc f est constante sur \mathbb{R} .

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