Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice sur le calcul d’une intégrale double. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre des intégrales et celui des séries entières. C’est un exercice de deuxième année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Intégrale double

Et c’est parti pour la démonstration !

Démonstration de l’exercice

Intégrale à l’intérieur

Commençons par calculer de manière explicite la première intégrale, c’est à dire celle qui est à l’intérieur. On peut la calculer directement. Prenons un x réel strictement positif fixé :

\begin{array}{l}
\displaystyle \int_x^{+\infty} \dfrac{dt}{e^t-1}\\
= \displaystyle \int_x^{+\infty} \dfrac{dt}{e^t(1-e^{-t})}\\
= \displaystyle \int_x^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{(1-e^{-t})}dt\\
= \displaystyle - \int_x^{+\infty}  \dfrac{-e^{-t}}{(1-e^{-t})}dt
\end{array}

On remarque que cette intégrale est de la forme

\dfrac{u'}{u}

On peut donc directement l’intéger sous la forme :

\left[- \ln(1 -e^{-t})\right]_x^{\infty}

De plus

\lim_{n \rightarrow + \infty}- \ln(1 -e^{-x}) = 0 

On obtient alors comme résultat (ce qui prouve sa convergence) :

- \ln(1-e^{-x})

Ce qui fait qu’obtient :

\int_0^{+\infty} \left(\int_x^{+\infty} \dfrac{dt}{e^t-1} \right)dx = \int_0^{+\infty} - \ln(1-e^{-x})dx

On a donc calculé la première intégrale de cette intégrale double.

Intégrale à l’extérieur

Cette intégrale n’a a priori pas de primitive facile à calculer. On remarque :

\forall x \in [0, + \infty[, 0<e^{-x}<1

On peut donc utiliser le développement en série entière de

x \mapsto \ln(1-x)

qui a pour rayon de convergence 1. On a donc :

- \ln(1-e^{-x}) = - \sum_{n=1}^{+\infty} -\dfrac{(e^{-x})^n}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx}}{n} 

On a maintenant notre intégrale sous la forme :

\int_0^{+\infty} \left(\int_x^{+\infty} \dfrac{dt}{e^t-1} \right)dx = \int_0^{+\infty}  \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx}}{n} dx

On va maintenant démontrer que l’on peut inverser les signes somme et intégrale. Pour cela, il suffit de montrer la convergence uniforme de notre série. Pour cela, nous allons montrer la convergence normale sur tout segment.
Soit un segment [a,b] avec 0 < a < b. On a

\sup_{x \in [a,b]} \dfrac{e^{-nx}}{n} = \dfrac{e^{-na}}{n}= \dfrac{(e^{-a})^n}{n}

qui est le terme général d’une série convergente car majoré par une suite géométrique de raison inférieure à 1.
On a donc la convergence normale sur [a,b]. En passant, à la limite, on obtient la convergence normale sur ]0,+∞[ ce qui implique qu’on a la convergence uniforme sur ]0,+∞[.
On peut donc inverser les signes somme et intégrale

\int_0^{+\infty}  \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx}}{n} dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n}\int_0^{+\infty}  e^{-nx} dx

Or, on a :

\int_0^{+\infty}  e^{-nx}  dx =\dfrac{1}{n}

Et donc,

\int_0^{+\infty} \left(\int_x^{+\infty} \dfrac{dt}{e^t-1} \right)dx  = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}

Or, et c’est quelque chose qu’on a vu dans cet exercice

 \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}

Et donc on a bien la valeur de notre intégrale double :

\int_0^{+\infty} \left(\int_x^{+\infty} \dfrac{dt}{e^t-1} \right)dx  = \dfrac{\pi^2}{6}

Ce qui permet de conclure ce joli exercice !

Cet exercice vous a plu ?

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