Dans cet article, nous allons nous intéresser à la notion de dimension. Cette notion est très utile pour parler d’espaces vectoriels de dimension finie avec plusieurs propriétés qui en découlent.
Prérequis
Cours
Dans toute la suite E désignera un \mathbb{K}-espace vectoriel. Soit \mathcal{F} = (v_1,\ldots, v_n) une base de E. Alors n est le cardinal de cette famille. On a alors la propriété suivante :
- Toutes les bases ont même cardinal
- Ce cardinal est appelé dimension
On peut aussi l’appeler dimension de Hamel.
Propriétés
Voici les propriétés à retenir concernant la dimension :
- Si F \subset E alors \dim(F) \leq \dim(E)
- Si F \subset E et \dim(F) = \dim(E) alors F = E
- \dim(E \times F) = \dim (E) + \dim(F)
La dimension permet de montrer plus facilement qu’une famille est une base. Soit E un espace vectoriel de dimension n.
- Une famille libre de cardinal n est une base de E
- Une famille génératrice de cardinal n est une base E
Donc en pratique, si on connait déjà la dimension de l’espace recherché, on montre que la famille est libre et cela suffit pour avoir une base.
Exemples
Voici quelques exemples d’espaces vectoriels et leur dimension
- \mathbb{K} en tant que \mathbb{K} espace vectoriel est un espace vectoriel de dimension 1
- \mathbb{R}^n est un espace vectoriel de dimension n
- \mathbb{R}_n[X] est un espace vectoriel de dimension n+1 (sa base canonique est (1,X, \ldots, X^n) de cardinal n+1)
- M_{n,p}(\R) est de dimension n\times p
- \mathbb{C} en tant que \R-espace vectoriel est de dimension 2.
- Certains espaces vectoriels peuvent être de dimension infinie comme l’ensemble des polynômes à coefficients réels \mathbb{R}[X] ou l’ensemble des applications réelles \mathcal{F}(\R, \R)
Exercice corrigé
Exercice 1
Et si vous alliez voir notre article sur les polynômes de Lagrange, où on montre qu’une famille de polynôme est une base
Exercice 2
Enoncé : Démontrer que l’ensemble des suites arithmétiques réelles est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension?
Corrigé : Démontrons que l’ensemble E des suites arithmétiques réelles est un sous-espace vectoriel des suites réelles
- La suite nulle est une suite arithmétique
- Les suites arithmétiques réelles sont incluses dans les suites réelles
- On a vu dans le cours sur les suites arithmétiques que la somme de deux suites arithmétiques est une suite arithmétique et que leur multiplication par un scalaire est une suite arithmétique
Déterminons maintenant sa dimension. Toute suite arithmétique est de la forme a + nb . Une base des suites arithmétiques est donc les suites (1)_{n \in \N} et (n)_{n \in \N}. Cet espace est de dimension 2 car on a une famille de 2 vecteurs non colinéaires.
Exercice 3
Enoncé : Montrer que tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.
Corrigé : Soit E un espace vectoriel de dimension n et F un sous-espace vectoriel de E. Par l’absurde supposons que F ne soit pas de dimension finie. Alors, il existe v_1, \ldots, v_{n+1}, n + 1 vecteurs de F linéairement indépendants dans F.
Mais ils sont aussi linéairement indépendants dans E. Donc la dimension de E est au moins n + 1. On aboutit donc à une contradiction.
