Voici la correction détaillée d’un exercice de probabilité tombé à l’oral de l’ENS en 2022 mais qui est principalement un exercice de dénombrement mêlé avec des congruences.
Enoncé
Si vous voulez plus d’énoncés de sujets tombés en 2022, allez voir notre article à ce sujet.
Corrigé
Cas 1 : n est une puissance d’un nombre premier
Commençons par le cas
n = p^{\alpha}, \Z/p^{\alpha}\ZAvec p premier. On a la relation suivante :
ab = 0 [p^\alpha] \iff v_p(ab) \geq \alpha
Où vp est la valuation p-adique
Calculons alors la probabilité suivante :
\mathbb{P}(v_p (X) = i ) Avec X variable aléatoire suivant une loi uniforme sur
\{0, \ldots, p^{\alpha}-1 \}On a
p^{\alpha -k}Multiples de pk dans cet intervalle. On en a donc
\begin{array}{ll}
mult(p^{k})-mult(p^{k+1})& = p^{\alpha-k}-p^{\alpha-k-1}\\
& =p^{\alpha-k-1}(p-1)
\end{array}Ainsi,
\forall i < \alpha, \mathbb{P}(v_p (X) = i ) = \dfrac{p^{\alpha-i-1}(p-1)}{p^{\alpha}}= \dfrac{p-1}{p^{i+1}}De cette manière, on obtient pour la probabilité recherchée :
\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(ab\neq 0) &=\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha-1} \mathbb{P}(ab \neq 0 \cap v_p(a) = i)\\
&=\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha-1} \mathbb{P}_{v_p(a) =i}(v_p(ab) < \alpha )\mathbb{P}( v_p(a) = i)\\
&=\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha-1}\dfrac{p-1}{p^{i+1}}\mathbb{P}( v_p(b) <\alpha- i)\\
&=\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha-1}\dfrac{p-1}{p^{i+1}}\sum_{k= 0}^{\alpha-i-1} \dfrac{p-1}{p^{k+1}}\\
&=\displaystyle \dfrac{(p-1)^2}{p^2} \sum_{i=0}^{\alpha-1}\left(\dfrac{1}{p}\right)^{i}\sum_{k= 0}^{\alpha-i-1} \left(\dfrac{1}{p}\right)^{k}\\
&=\displaystyle \dfrac{(p-1)^2}{p^2} \sum_{i=0}^{\alpha-1}\left( \dfrac{1}{p} \right)^{i}\dfrac{1-\left(\frac{1}{p}\right)^{\alpha-i}}{1-\frac{1}{p}}\\
&=\displaystyle \dfrac{(p-1)^2}{p^2} \sum_{i=0}^{\alpha-1}\left( \dfrac{1}{p} \right)^{i}\dfrac{1-\left(\frac{1}{p}\right)^{\alpha-i}}{\frac{p-1}{p}}\\
&=\displaystyle \dfrac{(p-1)}{p} \sum_{i=0}^{\alpha-1}\left( \dfrac{1}{p} \right)^{i+1}\left(1-\left(\frac{1}{p}\right)^{\alpha-i}\right)\\
&=\displaystyle \dfrac{(p-1)}{p} \sum_{i=0}^{\alpha-1}\left( \dfrac{1}{p} \right)^{i}-\left( \dfrac{1}{p} \right)^{\alpha}\\
&=\displaystyle \dfrac{(p-1)}{p}\left( \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{p}\right)^{\alpha}}{1-\dfrac{1}{p}}-\dfrac{\alpha}{p^{\alpha}}\right)\\
&=1-\left(\dfrac{1}{p}\right)^{\alpha}-\dfrac{\alpha(p-1)}{p^{\alpha+1}}\\
\end{array}D’où
\mathbb{P}(ab=0) =\left(\dfrac{1}{p}\right)^{\alpha}+\dfrac{\alpha(p-1)}{p^{\alpha+1}}Cas général
On décompose n à l’aide du théorème des nombres premiers :
n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_r^{\alpha_r}On va utiliser le fait que
\Z / n \Z \simeq \Z / p_1^{\alpha_1} \Z \times \ldots \times \Z /p_r^{\alpha_r}\ZL’équivalence suivante est vraie :
ab = 0 [n]\iff \forall i \in \{1, \ldots,r\},ab = 0[p_i^{\alpha_i}]On a ainsi, grâce à l’indépendance
\mathbb{P}(ab = 0 [n]) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(ab= 0 [p_i^{\alpha_i}])Ce qui nous permet de conclure la correction de cet exercice de l’ENS
