Endomorphisme orthogonal : Cours et exercices corrigés

C’est une notion importante lorsqu’on travaille avec des espaces euclidiens. Voici la notion d’endomorphisme orthogonal

Prérequis

• Produit scalaire
• Espace euclidien

Définition

Soit E un espace euclidien. Soit u un endomorphisme de E. On dit que u est un endomorphisme orthogonal s’il conserve le produit scalaire i.e

\forall x,y \in E, \langle x , y \rangle = \langle f(x) , f(y) \rangle

On note O(E) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E.

Propriétés

Voici quelques propriétés des endomorphismes orthogonaux. Soit u un endomorphisme orthogonal :

• u conserve la norme : ||u(x) || = \sqrt{\langle u(x) ,u(y) \rangle} = \sqrt{ \langle x,y \rangle} = ||x||. La réciproque est aussi vraie : un endomorphisme qui conserve la norme est orthogonal.
• Si \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) est une base orthonormée de E alors \mathcal{B}' = (u(e_1), \ldots,u( e_n)) l’est aussi. En effet :
  • Elle possède n vecteurs
  • Si i \neq j, \langle u(e_i) , u(e_j) \rangle = \langle e_i , e_j \rangle = 0
  • De plus || u(e_i)|| = ||e_i|| =1 car la norme est conservée
• u est bijectif : u(x) = 0 \iff ||u(x) || = 0 \iff ||x || = 0 \iff x = 0 . Et comme E est euclidien et donc de dimension finie, cela suffit pour conclure.
• Si \lambda est une valeur propre de u alors ||x||= ||u(x) || = ||\lambda x|| = |\lambda |.||x|| d’où |\lambda | = 1 \iff \lambda \in \{ -1;1\}

Exercices corrigés

Exercice 1330

Enoncé

Corrigé

Question 1 : Nous allons distinguer selon si u(x) et v(x) sont colinéaires. Notons que x est nécessairement non nul si on aurait 0= u(x) = v(x)

• Si u(x) et v(x) sont colinéaires : comme on a ||x || = ||u(x) || = ||v(x) || et u(x) \neq v(x) alors nécessairement on a u(x) = -v(x) . Dans ce cas \langle u(x), v(x) \rangle = - \langle u(x) , u(x) \rangle = - ||u(x) ||^2 < 0 < ||u(x) ||.||v(x) ||
• Si u(x) et v(x) ne sont pas colinéaires, alors on est dans le cas d’inégalité de Cauchy-Schwarz avec : \langle u(x), v(x) \rangle \leq | \langle u(x), v(x) \rangle | < ||u(x)||.||v(x) ||

Dans les 2 cas, on a bien l’inégalité recherchée.

Question 2 : Partons sur une résolution calculatoire qui va utiliser la question 1, si u(x) \neq v(x), on a :

\begin{array}{ll}
||\lambda u(x) + (1- \lambda)v(x) ||^2 & = \lambda^2 ||u(x) ||^2 + (1- \lambda)^2 ||v(x)||^2 \\&\ \ + 2\lambda (1-\lambda) \langle u(x),v(x)\rangle\\
& < \lambda^2 ||u(x) ||^2 + (1- \lambda)^2 ||v(x)||^2 \\&\ \ + 2\lambda (1-\lambda) ||u(x)||.||v(x)||\\
&= \lambda^2 ||u(x) ||^2 + (1- \lambda)^2 ||v(x)||^2 \\&\ \  + 2\lambda (1-\lambda) ||u(x)||^2\\
&= (\lambda^2 + 1 - 2 \lambda + \lambda^2 +2\lambda -2 \lambda^2)||u(x)||^2\\
&= ||u(x)||^2
\end{array}

Si on résume, on a donc :

||\lambda u(x) + (1- \lambda)v(x) ||^2 < ||u(x)||^2 = ||x||^2

Donc la norme n’est pas conservée. Ainsi u(x) = v(x). Cela doit être vrai pour tout x. Donc u=v .

Exercice 1114

Enoncé

Corrigé

Question 1 : Cette question est simple :

\langle u-v , u+v \rangle = ||u||^2 + ||v||^2 - 2 \langle u,v\rangle = -2 \langle u,v \rangle

Et c’est tout ! Mais ça va nous resservir !

Question 2 : Soit \mathcal{B}= (e_1, \ldots,e_n) une base orthonormée de E. On note \alpha =||f(e_1)||. On a, d’après la question 1 que

\langle e_1+e_i , e_1-e_i\rangle = 0 

Et aussi

\langle e_1,e_i\rangle = 0 \Longrightarrow \langle f(e_1),f(e_i ) \rangle

Donc

\begin{array}{ll}
& \langle f(e_1+e_i) , f(e_1-e_i)\rangle = 0 \\
\iff & \langle f(e_1)+f(e_i ),f( e_1)-f(e_i)\rangle = 0 \\
\iff &||f(e_1)||^2 -||f(e_i)||^2 -2\langle f(e_1),f(e_i)\rangle = 0 \\
\iff &||f(e_1)||=||f(e_i)|| \\
\iff &||f(e_i)|| = \alpha
\end{array}

Ainsi, si x = \sum_{k=1} a_k e_k , on a

||f(x) ||^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2||f(e_i)||^2= \alpha ^2 \sum_{k=1} a_k^2= \alpha^2 ||x||^2

On a donc bien le résultat voulu :

||f(x) ||= \alpha ||x||

Question 3 : Si \alpha = 0 alors c’est gagné.

Sinon, considérons g = \dfrac{1}{\alpha} f. Dans ce cas, on a ||g(x) || = \dfrac{1}{\alpha}|| f(x) || = ||x|| ce qui suffit à conclure : g est un endomorphisme orthogonal et f = \alpha g