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Les normes : Cours et exercices corrigés

Définition

La norme en mathématiques est une notion définie sur les espaces vectoriels. C’est une application d’un lK-espace vectoriel E vers les réels positifs, notée ||.|| qui doit vérifier 3 points :

  • Séparation
\forall x \in E, ||x|| = 0 \Rightarrow x= 0
  • Homogénéité
\forall x \in E,\forall \lambda \in \mathbb{K}, ||\lambda x ||= |\lambda| ||x||
  • Inégalité triangulaire
\forall x,y \in E, ||x+y||\leq ||x||+||y||

Un espace vectoriel muni d’une telle norme est appelé espace vectoriel normé.

Exemples

La valeur absolue

La valeur absolue est une norme sur l’espace vectoriel des réels.
Exercice associé : Montrer que toute norme sur les réels est proportionnelle à la valeur absolue

La norme euclidienne

Soit

x = (x_1,\ldots,x_n)

un vecteur de

\mathbb{K}^n 

La norme euclidienne est définie par

||x || = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} =\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2} 

La norme p

On définit la norme p par

||x ||_p = \left(\sum_{k=1}^n x_k^p\right)^{\frac{1}{p}} 

La norme euclidienne est en fait la norme 2

La norme infinie

On définit la norme infinie par

||x||_{\infty} = \max_{x_1,\ldots,x_n} |x_i|

Généralisations

On peut définir des normes euclidiennes, des normes p et des normes infinies par exemple pour des fonctions continues de [0,1] vers les réels.

\begin{array}{l}
\forall f \in C^0([0,1],\mathbb{R}),\\
\displaystyle ||f||_2 = \sqrt{\int_0^1 |f(t)|^2 dt}\\
\displaystyle ||f||_p = \left( \int_0^1 |f(t)|^p dt \right)^{\frac{1}{p}}\\
\displaystyle ||f||_{\infty}= \max_{x \in [0,1]} |f(x)|
\end{array}

Propriétés et définitions complémentaires

Semi-norme

La semi-norme en mathématiques est une notion définie sur les espaces vectoriels. C’est une application d’un lK-espace vectoriel E vers les réels positifs. Elle ne vérifie que deux points sur 3 par rapport à la norme.

  • Homogénéité
\forall x \in E,\forall \lambda \in \mathbb{K}, N(\lambda x )= |\lambda| N(x)
  • Inégalité triangulaire
\forall x,y \in E, N(x+y)\leq N(x)+N(y)

Norme d’algèbre

En plus des trois axiomes de la définition, elle vérifie dans une algèbre A

\forall x,y \in A, ||xy|| \leq ||x||.||y||

Une algèbre munie d’une norme est appelée algèbre normée.

Equivalence de normes

N1 est dite plus fine que N2 si il existe un réel C tel que

\forall x \in E, N_2(x) \leq C N_1(x)

N1 et N2 sont dites équivalentes si chacune est plus fine que l’autre. On peut caractériser ceci par l’existence de c et C tels que :

\forall x \in cN_2(x) \leq N_1(x) \leq CN_2(x)

Propriété : Toutes les normes d’un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes

Lien avec le produit scalaire

Si <.|.> est un produit scalaire alors en définissant

\forall x \in E, ||x|| = \sqrt{< x|x>} 

On obtient une norme euclidienne.

Exercices corrigés

Exercice 176

Norme sur les fonctions lipschitziennes

Pour montrer que c’est une norme, il suffit de montrer que les trois axiomes de la définition sont vrais :

  • Séparation :
    Comme les deux termes définissant f sont tous les deux positifs ou nuls, on a
k(f) +|f(0)|= 0 \iff k(f) = 0 \wedge |f(0)|= 0

On a donc :

 |f(0)|= 0 \iff f(0) = 0 

De plus,

k(f) = 0 \iff \sup_{x \neq y} \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} =0

Puis, par positivité de la valeur absolue,

\begin{array}{ll}
 &\sup_{x \neq y} \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} =0 \\
\iff & \forall x\neq y, \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} = 0\\
\iff & \forall x\neq y, |f(x)-f(y)| = 0\\
\iff & \forall x\neq y, f(x)=f(y)
\end{array}

Conclusion : f est constante. Or, f(0) = 0. Donc f est nulle

  • Homogénéité : Soit
\lambda \in \mathbb{R}

On a :

\dfrac{|\lambda f(x) -\lambda f(y)|}{|x-y|}+|\lambda f(0)|=|\lambda|\dfrac{|f(x) -f(y)|}{|x-y|}+|\lambda|| f(0)|

En passant au sup :

\begin{array}{ll}
&\displaystyle\sup_{x \neq y} \dfrac{|\lambda f(x) -\lambda f(y)|}{|x-y|}+|\lambda f(0)|=\sup_{x \neq y} |\lambda|\dfrac{|f(x) -f(y)|}{|x-y|}+|\lambda|| f(0)|\\
\iff & \displaystyle \sup_{x \neq y} \dfrac{|\lambda f(x) -\lambda f(y)|}{|x-y|}+|\lambda f(0)|=|\lambda|\left( \sup_{x \neq y} \dfrac{|f(x) -f(y)|}{|x-y|}+| f(0)|\right)\\
\iff & N(\lambda f) = |\lambda| N(f)
\end{array}

ce qui démontre bien l’homogénéité.

  • Inégalité triangulaire :

Soient f et g deux fonctions de E. On a :

\begin{array}{rl}
 \forall x\neq y & |f(x)+g(x)-(f(y)+g(y))| \\
=&  |f(x)-f(y)+g(x)-g(y)| \\
\leq & |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|\\
\leq & k(f)|x-y|+k(g)|x-y|\\
\leq & (k(f)+k(g))|x-y|
\end{array}

Ainsi, on a

\dfrac{ |f(x)-f(y)+g(x)-g(y)| }{|x-y|}\leq k(f)+k(g)

En passant au sup :

k(f+g) \leq k(f)+k(g)

De plus, par inégalité triangulaire :

|f(0)+g(0)|\leq |f(0)|+|g(0)|

Donc :

k(f+g)+|f(0)+g(0)| \leq k(f)+k(g)+|f(0)|+|g(0)|

D’où

N(f+g) \leq N(f)+N(g)

Ce qui permet de démontrer que N est une norme et termine l’exercice.

Exercice 313

Normes de polynômes

Commençons par ||P||1. Si on a :

\sup_{n\in \mathbb{N}} |P^{(n)}(0)|=0

Alors

\forall n \in \mathbb{N}, |P^{(n)}(0)|=0

Or, si

P = \sum_{k=0} a_k X^k

On a

a_k =  k!|P^{(k)}(0)|=0

Et donc P est nul. Ce raisonnement vaut aussi pour ||P||2.

Soit

\lambda \in \mathbb{R}

On a :

||\lambda P||_1 =\sup_{n\in\mathbb{N}} |\lambda P^{(n)}(0)|=\sup_{n\in\mathbb{N}} |\lambda P^{(n)}(0)|=|\lambda| .||P||_1

Et donc P est nul. Ce raisonnement vaut là aussi pour ||P||2. Concluons avec l’inégalité triangulaire. Soient P et Q 2 polynômes à coefficients réels. On a :

\forall n \in \mathbb{N}, |(P+Q)^{(n)}(0)|\leq |P^{(n)}(0)|+|Q^{(n)}(0)|

En passant au sup, on obtient bien le résultat voulu qu’est l’inégalité triangulaire. Il en est de même pour ||P||2.

Montrons maintenant que ces deux normes ne sont pas équivalentes. Assez simplement, prenons

P_n(X) = X^n 

On a :

||P_n||_1= 1

Et

||P_n||_2=\dfrac{1}{n!}

On a donc :

 ||P_n||_1= n!||P_n||_2

On ne peut donc pas trouver C > 0 tel que

\forall n \in \mathbb{N}||P_n||_2 \leq C  ||P_n||_1

Donc ces 2 normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 969

Et voici maintenant un exercice de norme d’algèbre

Norme d'algèbre

Question 1

Montrons par récurrence que

\forall p \in \N^*,||A^p || \leq  ||A||^p

Initialisation : On a bien

||A^1 ||=||A || \leq  ||A||^1  = ||A||

Hérédité : Soit p un entier fixé. On suppose qu’on a :

||A^p || \leq  ||A||^p

On a alors

\begin{array}{ll}
||A^{p+1} ||&=||A^p A||\\
& \leq  ||A^p||. ||A|| \\
&\leq ||A||^p ||A||\\
&\leq ||A||^{p+1}
\end{array}

ce qui démontre bien l’hérédité et donc notre récurrence.

Maintenant, on a :

\dfrac{||A^p||}{p!}\leq \dfrac{||A||^p}{p!}

C’est bien le terme d’une série convergente car elle est positive et majorée par le terme général de la série exponentielle.

Quant à sa limite, on la nomme eA

Question 2

Pour faire cette question, on sait que toute matrice A est trigonalisable dans l’ensemble des matrices complexes, il existe donc une matrice T triangulaire supérieure et P inversible telle que :

A = PTP^{-1}

On a :

\begin{array}{ll}
e^A &= \displaystyle\sum_{p \geq 0 } \dfrac{A^p}{p!}\\
&= \displaystyle\sum_{p \geq 0 } \dfrac{(PTP^{-1})^p}{p!}\\
&= \displaystyle\sum_{p \geq 0 } \dfrac{PT^pP^{-1}}{p!}\\
&= \displaystyle P\left(\sum_{p \geq 0 } \dfrac{T^p}{p!}\right) P^{-1}\\
&= \displaystyle Pe^T P^{-1}\\
 \end{array}

Comme la trace et le déterminant sont des invariants de similitude, il suffit de montrer le résultat pour T. Voici à quoi ressemble T :

T = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & (*) \\
\vdots  & \ddots &  \\
(0)& \ldots & \lambda_n \\
\end{pmatrix}

Ce qui nous donne

e^T = \begin{pmatrix}
e^{\lambda_1} & & (*') \\
\vdots  & \ddots &  \\
(0)& \ldots & e^{\lambda_n} \\
\end{pmatrix}

Maintenant, on a

\begin{array}{ll}
\det(e^A) &= \det(e^T)\\
&= \displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\lambda_i}\\
&= e^{ \sum_{i=1}^n \lambda_i} \\
&= e^{ Tr(T)} \\
&= e^{ Tr(A)} 
\end{array}

ce qui est bien le résultat voulu et conclut notre exercice !

Vous voulez plus d’exercices sur les normes ?


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