Définition
La norme en mathématiques est une notion définie sur les espaces vectoriels. C’est une application d’un lK-espace vectoriel E vers les réels positifs, notée ||.|| qui doit vérifier 3 points :
- Séparation \forall x \in E, ||x|| = 0 \Rightarrow x= 0
- Homogénéité \forall x \in E,\forall \lambda \in \mathbb{K}, ||\lambda x ||= |\lambda| ||x||
- Inégalité triangulaire \forall x,y \in E, ||x+y||\leq ||x||+||y||
Un espace vectoriel muni d’une telle norme est appelé espace vectoriel normé.
Exemples
La valeur absolue
La valeur absolue est une norme sur l’espace vectoriel des réels.
Exercice associé : Montrer que toute norme sur les réels est proportionnelle à la valeur absolue
La norme euclidienne
Soit x = (x_1,\ldots,x_n) un vecteur de \mathbb{K}^n.
La norme euclidienne est définie par
||x || = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} =\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2} La norme p
On définit la norme p par
||x ||_p = \left(\sum_{k=1}^n x_k^p\right)^{\frac{1}{p}} La norme euclidienne est en fait la norme 2
La norme infinie
On définit la norme infinie par
||x||_{\infty} = \max_{x_1,\ldots,x_n} |x_i|Généralisations
On peut définir des normes euclidiennes, des normes p et des normes infinies par exemple pour des fonctions continues de [0,1] vers les réels.
\begin{array}{l}
\forall f \in C^0([0,1],\mathbb{R}),\\
\displaystyle ||f||_2 = \sqrt{\int_0^1 |f(t)|^2 dt}\\
\displaystyle ||f||_p = \left( \int_0^1 |f(t)|^p dt \right)^{\frac{1}{p}}\\
\displaystyle ||f||_{\infty}= \max_{x \in [0,1]} |f(x)|
\end{array}Propriétés et définitions complémentaires
Semi-norme
La semi-norme en mathématiques est une notion définie sur les espaces vectoriels. C’est une application d’un lK-espace vectoriel E vers les réels positifs. Elle ne vérifie que deux points sur 3 par rapport à la norme.
- Homogénéité \forall x \in E,\forall \lambda \in \mathbb{K}, N(\lambda x )= |\lambda| N(x)
- Inégalité triangulaire \forall x,y \in E, N(x+y)\leq N(x)+N(y)
Norme d’algèbre
Soit A une algèbre. En plus des trois axiomes de la définition, une norme d’algèbre A vérifie \forall x,y \in A, ||xy|| \leq ||x||.||y||
Une algèbre munie d’une norme est appelée algèbre normée.
Equivalence de normes
N1 est dite plus fine que N2 si il existe un réel C tel que \forall x \in E, N_2(x) \leq C N_1(x)
N1 et N2 sont dites équivalentes si chacune est plus fine que l’autre. On peut caractériser ceci par l’existence de c et C tels que \forall x \in cN_2(x) \leq N_1(x) \leq CN_2(x)
Propriété : Toutes les normes d’un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes
Lien avec le produit scalaire
Si <.|.> est un produit scalaire alors en définissant \forall x \in E, ||x|| = \sqrt{\langle x|x\rangle} on obtient une norme euclidienne.
Exercices corrigés
Exercice 176
Pour montrer que c’est une norme, il suffit de montrer que les trois axiomes de la définition sont vrais :
- Séparation :
Comme les deux termes définissant f sont tous les deux positifs ou nuls, on a k(f) +|f(0)|= 0 \iff k(f) = 0 \wedge |f(0)|= 0
On a donc |f(0)|= 0 \iff f(0) = 0
De plus, k(f) = 0 \iff \sup_{x \neq y} \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} =0
Puis, par positivité de la valeur absolue,
\begin{array}{ll}
&\sup_{x \neq y} \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} =0 \\
\iff & \forall x\neq y, \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} = 0\\
\iff & \forall x\neq y, |f(x)-f(y)| = 0\\
\iff & \forall x\neq y, f(x)=f(y)
\end{array}Conclusion : f est constante. Or, f(0) = 0. Donc f est nulle
- Homogénéité : Soit \lambda \in \mathbb{R} . On a :
\dfrac{|\lambda f(x) -\lambda f(y)|}{|x-y|}+|\lambda f(0)|=|\lambda|\dfrac{|f(x) -f(y)|}{|x-y|}+|\lambda|| f(0)|En passant au sup :
\begin{array}{ll}
&\displaystyle\sup_{x \neq y} \dfrac{|\lambda f(x) -\lambda f(y)|}{|x-y|}+|\lambda f(0)|=\sup_{x \neq y} |\lambda|\dfrac{|f(x) -f(y)|}{|x-y|}+|\lambda|| f(0)|\\
\iff & \displaystyle \sup_{x \neq y} \dfrac{|\lambda f(x) -\lambda f(y)|}{|x-y|}+|\lambda f(0)|=|\lambda|\left( \sup_{x \neq y} \dfrac{|f(x) -f(y)|}{|x-y|}+| f(0)|\right)\\
\iff & N(\lambda f) = |\lambda| N(f)
\end{array}ce qui démontre bien l’homogénéité.
Soient f et g deux fonctions de E. On a :
\begin{array}{rl}
\forall x\neq y & |f(x)+g(x)-(f(y)+g(y))| \\
=& |f(x)-f(y)+g(x)-g(y)| \\
\leq & |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|\\
\leq & k(f)|x-y|+k(g)|x-y|\\
\leq & (k(f)+k(g))|x-y|
\end{array}Ainsi, on a \dfrac{ |f(x)-f(y)+g(x)-g(y)| }{|x-y|}\leq k(f)+k(g)
En passant au sup k(f+g) \leq k(f)+k(g)
De plus, par inégalité triangulaire |f(0)+g(0)|\leq |f(0)|+|g(0)|
Donc k(f+g)+|f(0)+g(0)| \leq k(f)+k(g)+|f(0)|+|g(0)|
D’où N(f+g) \leq N(f)+N(g)
Ce qui permet de démontrer que N est une norme et termine l’exercice.
Exercice 313
Commençons par ||P||1. Si on a \sup_{n\in \mathbb{N}} |P^{(n)}(0)|=0 .
Alors \forall n \in \mathbb{N}, |P^{(n)}(0)|=0
Or, si P =\displaystyle \sum_{k=0} a_k X^k
On a a_k = k!|P^{(k)}(0)|=0. Et donc P est nul. Ce raisonnement vaut aussi pour ||P||_2.
Soit \lambda \in \mathbb{R}
On a ||\lambda P||_1 = \sup_{n\in\mathbb{N}} |\lambda P^{(n)}(0)|=\sup_{n\in\mathbb{N}} |\lambda P^{(n)}(0)|=|\lambda| .||P||_1
Et donc P est nul. Ce raisonnement vaut là aussi pour||P||_2. Concluons avec l’inégalité triangulaire. Soient P et Q 2 polynômes à coefficients réels. On a \forall n \in \mathbb{N}, |(P+Q)^{(n)}(0)|\leq |P^{(n)}(0)|+|Q^{(n)}(0)|
En passant au sup, on obtient bien le résultat voulu qu’est l’inégalité triangulaire. Il en est de même pour ||P||_2
Montrons maintenant que ces deux normes ne sont pas équivalentes. Assez simplement, prenons P_n(X) = X^n
On a ||P_n||_1= 1 et ||P_n||_2=\dfrac{1}{n!}
On a donc ||P_n||_1= n!||P_n||_2
Ce qui fait qu’on ne peut donc pas trouver C > 0 tel que \forall n \in \mathbb{N}||P_n||_2 \leq C ||P_n||_1
Donc ces 2 normes ne sont pas équivalentes.
Exercice 969
Et voici maintenant un exercice de norme d’algèbre
Question 1
Montrons par récurrence que \forall p \in \N^*,||A^p || \leq ||A||^p
Initialisation : On a bien ||A^1 ||=||A || \leq ||A||^1 = ||A||
Hérédité : Soit p un entier fixé. On suppose qu’on a ||A^p || \leq ||A||^p
On a alors
\begin{array}{ll}
||A^{p+1} ||&=||A^p A||\\
& \leq ||A^p||. ||A|| \\
&\leq ||A||^p ||A||\\
&\leq ||A||^{p+1}
\end{array}ce qui démontre bien l’hérédité et donc notre récurrence.
Maintenant, on a \dfrac{||A^p||}{p!}\leq \dfrac{||A||^p}{p!}
C’est bien le terme d’une série convergente car elle est positive et majorée par le terme général de la série exponentielle.
Quant à sa limite, on la nomme eA
Question 2
Pour faire cette question, on sait que toute matrice A est trigonalisable dans l’ensemble des matrices complexes, il existe donc une matrice T triangulaire supérieure et P inversible telle que
A = PTP^{-1}On a :
\begin{array}{ll}
e^A &= \displaystyle\sum_{p \geq 0 } \dfrac{A^p}{p!}\\
&= \displaystyle\sum_{p \geq 0 } \dfrac{(PTP^{-1})^p}{p!}\\
&= \displaystyle\sum_{p \geq 0 } \dfrac{PT^pP^{-1}}{p!}\\
&= \displaystyle P\left(\sum_{p \geq 0 } \dfrac{T^p}{p!}\right) P^{-1}\\
&= \displaystyle Pe^T P^{-1}\\
\end{array}Comme la trace et le déterminant sont des invariants de similitude, il suffit de montrer le résultat pour T. Voici à quoi ressemble T :
T = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & (*) \\
\vdots & \ddots & \\
(0)& \ldots & \lambda_n \\
\end{pmatrix}Ce qui nous donne
e^T = \begin{pmatrix}
e^{\lambda_1} & & (*') \\
\vdots & \ddots & \\
(0)& \ldots & e^{\lambda_n} \\
\end{pmatrix}Maintenant, on a
\begin{array}{ll}
\det(e^A) &= \det(e^T)\\
&= \displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\lambda_i}\\
&= e^{ \sum_{i=1}^n \lambda_i} \\
&= e^{ Tr(T)} \\
&= e^{ Tr(A)}
\end{array}ce qui est bien le résultat voulu et conclut notre exercice !
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