Voici l’énoncé, la partie spécifique au lemme de Gronwall est la question 5

Lemme de Gronwall

Question 1

Montrons que T est un endomorphisme croissant.

Montrons d’abord que c’est un endomorphisme :

\begin{array}{l}
Soit\ f, g \in E\ et \ \lambda \in \mathbb{R}\\
Soit\ t \in [0;r]\\
T(f+\lambda g )(t) = \displaystyle \int_0^t (f+\lambda g)(s) \psi(s) ds\\
T(f+\lambda g )(t) = \displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds+ \lambda  \int_0^t g(s) \psi(s) ds \\
T(f+\lambda g )(t) = T(f)(t) + \lambda T(g)(t)\\
\text{L'égalité est vraie pour tout t, on a donc : }\\
T(f+\lambda g ) = T(f) + \lambda T(g)\\
\end{array}

Ce qui prouve bien que T est un endomorphisme.
Montrons maintenant que T est croissante

\begin{array}{l}
\text{Soit } f \leq g \text{ c'est à dire que } \forall t \in [0;r], f(t) \leq g(t) \\
\text{On a, pour } s \in [0,t] \text{ et par positivité de } \psi : f(s)\psi(s) \leq g(s) \psi(s)\\
\text{Et donc en intégrant : }   \displaystyle \int_0^t f(s)\psi(s) ds\leq \int_0^t  g(s) \psi(s)ds\\
\Rightarrow T(f)(t) \leq T(g)(t)\\
\text{Le résultat étant indépendant de t : }\\
T(f) \leq T(g)
\end{array}

Ce qui prouve la croissance de T.

Maintenant calculons sa norme.
Trouvons un majorant :

\begin{array}{l}
Soit\ f \in E\\
|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t \left|f(s)\psi(s)ds\right|\\
|T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}\displaystyle \int_0^t \left|\psi(s)\right|ds\\
|T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}\displaystyle \int_0^r \left|\psi(s)\right|ds \\
|T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}||\psi||_1 \\
\end{array}

On a donc la majoration suivante :

||T(f)|| \leq ||f||_{\infty}||\psi||_1 \\

En prenant f = 1, la fonction constante qui est de norme 1, on a :

T(f)(r) = \displaystyle\int_0^r 1 \times \psi(s) ds = ||\psi||_1

Qui atteint bien le majorant. La norme de T est donc

||\psi||_1

Question 2

Recherchons maintenant les espaces propres de T, donc les vecteurs propres et valeurs propres.

\begin{array}{l}
\text{Soit }\lambda \in \mathbb{R}\ et\ f \in E \\
\text{On cherche à résoudre } T(f) = \lambda f\\
\Leftrightarrow \forall t \in [0;r], \displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds = \lambda f(t) \\
\text{f étant continue, }\displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds \text{ est de classe } C^1\\
\text{Donc f est de classe } C^1
\end{array}

On va donc dériver l’égalité obtenue au dessus :

f(t) \psi(t) ds = \lambda f'(t)

Ce qui nous donne une équation différentielle qu’on va résoudre. Il s’agit d’une équation linéaire d’ordre 1, sans second membre. On peut donc donner directement le résultat :

\begin{array}{l}
f(t) = K \displaystyle  e^{\frac{1}{\lambda}\int_0^t\psi(s)ds}
\end{array}

Cet ensemble de fonctions est donc l’espace propre associé à λ.

Question 3

Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
Initialisation (n = 1)

\begin{array}{l}
|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t |f(s) \psi(s)| ds\\
\Rightarrow|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t ||f||_{\infty} |\psi(s)| ds\\
\Rightarrow|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t ||f||_{\infty} ||\psi||_{\infty} ds\\
\Rightarrow|T(f)(t)| \leq t ||f||_{\infty} ||\psi||_{\infty}  = \dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^1 ||f||_{\infty}}{1!}
\end{array}

La propriété est donc vraie au rang 1.
Hérédité (P(n) => P(n+1))

\begin{array}{l}
\text{On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé}\\
\text{Montrons qu'elle est vraie au rang n+1}\\
|T^{n+1}(f)(t)| = |T(T^n(f))(t)| \leq T\left(\dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!}\right)\\
\text{On a utilisé ici l'hypothèse de récurrence et}\\ 
\text{la croissance de l'endomorphisme montré à la question 1}\\
\text{Or, } \left|T\left(\dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!}\right)\right| \\
= \displaystyle \int_0^t  \dfrac{(s ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!} \psi(s) ds\\
\leq \displaystyle \int_0^t  \dfrac{(s ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!}  ||\psi||_{\infty} ds\\
= \dfrac{( ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{n!}\displaystyle \int_0^t  s^n ds\\
= \dfrac{( ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{n!}\displaystyle \dfrac{t^n}{n+1}\\
= \dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{(n+1)!}\displaystyle \\
\end{array}

Ce qui nous donne bien le résultat attendu

Question 4

Regardons le résultat pour n = 2 et essayons d’extrapoler une formule générale :

\begin{array}{l}
\text{Soit } t \in [0;r]\\
T^2(1)(t) \\
= T(T(1))(t) \\
= T(\Psi)(t) \\
= \displaystyle\int_0^t \Psi(s)\psi(s) ds\\
= \displaystyle\int_0^t \Psi(s)\Psi'(s)ds\\
= \dfrac{\Psi^2(t)}{2} -  \dfrac{\Psi^2(0)}{2}\\
=\dfrac{\Psi^2(t)}{2}
\end{array}

On va donc démontrer par récurrence la formule suivante :

T^n(1) = \dfrac{\Psi^n}{n!}

Si n = 1, la formule est vraie par définition de Ψ. Passons donc à l’hérédité :

\begin{array}{l}
\text{On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé}\\
\text{Soit } t \in [0,r], T^{n+1}(1)(t) \\
= T(T^n(1))(t) \\
= T\left(\dfrac{\Psi^n}{n!}\right)(t)\\
= \displaystyle \int_0^t \dfrac{\Psi^n(s)}{n!} \psi(s) ds\\
= \displaystyle \int_0^t \dfrac{\Psi^n(s)}{n!} \Psi'(s) ds\\
= \dfrac{\Psi^{n+1}(t)}{(n+1)!} -  \dfrac{\Psi^{n+1}(0)}{(n+1)!}\\
=\dfrac{\Psi^{n+1}(t)}{(n+1)!}\end{array}

Ce qui nous donne bien le résultat voulu.

Question 5

Passons maintenant au lemme de Gronwall. Posons la fonction suivante :

g(t) = \dfrac{A + T(f)(t)}{\exp(T(1)(t))} = \dfrac{A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds}{\exp(\int_0^t \psi(s)ds)}

Maintenant dérivons :

g'(t) = \psi(t)\dfrac{f(t) -A-T(f)}{\exp(T(f))} \leq 0 

Donc g est décroissante. Ce qui nous amène à conclure que :

\begin{array}{l}
g(t) \leq g(0)\\
\Leftrightarrow \dfrac{A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds}{\exp(\int_0^t \psi(s)ds)} \leq A\\
\Leftrightarrow A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds \leq A\exp(\int_0^t \psi(s)ds)\\
\text{Or, } f(t) \leq  A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds \\
\text{Donc, } f(t) \leq A\exp(\int_0^t \psi(s)ds)
\end{array}

Ce qui est bien la conclusion attendue. On a démontré le lemme de Gronwall.

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