Exercice corrigé : Le lemme de Gronwall

Voici un exercice corrigé détaillé démontrant le lemme de Gronwall. Des connaissances en topologie et équations différentielles sont nécessaires.
Lemme de Gronwall

Voici l’énoncé, la partie spécifique au lemme de Gronwall est la question 5

Lemme de Gronwall

Question 1

Montrons que T est un endomorphisme croissant.

Montrons d’abord que c’est un endomorphisme :

\begin{array}{l}
Soit\ f, g \in E\ et \ \lambda \in \mathbb{R}\\
Soit\ t \in [0;r]\\
T(f+\lambda g )(t) = \displaystyle \int_0^t (f+\lambda g)(s) \psi(s) ds\\
T(f+\lambda g )(t) = \displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds+ \lambda  \int_0^t g(s) \psi(s) ds \\
T(f+\lambda g )(t) = T(f)(t) + \lambda T(g)(t)\\
\text{L'égalité est vraie pour tout t, on a donc : }\\
T(f+\lambda g ) = T(f) + \lambda T(g)\\
\end{array}

Ce qui prouve bien que T est un endomorphisme.
Montrons maintenant que T est croissante

\begin{array}{l}
\text{Soit } f \leq g \text{ c'est à dire que } \forall t \in [0;r], f(t) \leq g(t) \\
\text{On a, pour } s \in [0,t] \text{ et par positivité de } \psi : f(s)\psi(s) \leq g(s) \psi(s)\\
\text{Et donc en intégrant : }   \displaystyle \int_0^t f(s)\psi(s) ds\leq \int_0^t  g(s) \psi(s)ds\\
\Rightarrow T(f)(t) \leq T(g)(t)\\
\text{Le résultat étant indépendant de t : }\\
T(f) \leq T(g)
\end{array}

Ce qui prouve la croissance de T.

Maintenant calculons sa norme.
Trouvons un majorant :

\begin{array}{l}
Soit\ f \in E\\
|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t \left|f(s)\psi(s)ds\right|\\
|T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}\displaystyle \int_0^t \left|\psi(s)\right|ds\\
|T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}\displaystyle \int_0^r \left|\psi(s)\right|ds \\
|T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}||\psi||_1 \\
\end{array}

On a donc la majoration suivante :

||T(f)|| \leq ||f||_{\infty}||\psi||_1 \\

En prenant f = 1, la fonction constante qui est de norme 1, on a :

T(f)(r) = \displaystyle\int_0^r 1 \times \psi(s) ds = ||\psi||_1

Qui atteint bien le majorant. La norme de T est donc

||\psi||_1

Question 2

Recherchons maintenant les espaces propres de T, donc les vecteurs propres et valeurs propres.

\begin{array}{l}
\text{Soit }\lambda \in \mathbb{R}\ et\ f \in E \\
\text{On cherche à résoudre } T(f) = \lambda f\\
\Leftrightarrow \forall t \in [0;r], \displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds = \lambda f(t) \\
\text{f étant continue, }\displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds \text{ est de classe } C^1\\
\text{Donc f est de classe } C^1
\end{array}

On va donc dériver l’égalité obtenue au dessus :

f(t) \psi(t) ds = \lambda f'(t)

Ce qui nous donne une équation différentielle qu’on va résoudre. Il s’agit d’une équation linéaire d’ordre 1, sans second membre. On peut donc donner directement le résultat :

\begin{array}{l}
f(t) = K \displaystyle  e^{\frac{1}{\lambda}\int_0^t\psi(s)ds}
\end{array}

Cet ensemble de fonctions est donc l’espace propre associé à λ.

Question 3

Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
Initialisation (n = 1)

\begin{array}{l}
|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t |f(s) \psi(s)| ds\\
\Rightarrow|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t ||f||_{\infty} |\psi(s)| ds\\
\Rightarrow|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t ||f||_{\infty} ||\psi||_{\infty} ds\\
\Rightarrow|T(f)(t)| \leq t ||f||_{\infty} ||\psi||_{\infty}  = \dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^1 ||f||_{\infty}}{1!}
\end{array}

La propriété est donc vraie au rang 1.
Hérédité (P(n) => P(n+1))

\begin{array}{l}
\text{On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé}\\
\text{Montrons qu'elle est vraie au rang n+1}\\
|T^{n+1}(f)(t)| = |T(T^n(f))(t)| \leq T\left(\dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!}\right)\\
\text{On a utilisé ici l'hypothèse de récurrence et}\\ 
\text{la croissance de l'endomorphisme montré à la question 1}\\
\text{Or, } \left|T\left(\dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!}\right)\right| \\
= \displaystyle \int_0^t  \dfrac{(s ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!} \psi(s) ds\\
\leq \displaystyle \int_0^t  \dfrac{(s ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!}  ||\psi||_{\infty} ds\\
= \dfrac{( ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{n!}\displaystyle \int_0^t  s^n ds\\
= \dfrac{( ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{n!}\displaystyle \dfrac{t^n}{n+1}\\
= \dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{(n+1)!}\displaystyle \\
\end{array}

Ce qui nous donne bien le résultat attendu

Question 4

Regardons le résultat pour n = 2 et essayons d’extrapoler une formule générale :

\begin{array}{l}
\text{Soit } t \in [0;r]\\
T^2(1)(t) \\
= T(T(1))(t) \\
= T(\Psi)(t) \\
= \displaystyle\int_0^t \Psi(s)\psi(s) ds\\
= \displaystyle\int_0^t \Psi(s)\Psi'(s)ds\\
= \dfrac{\Psi^2(t)}{2} -  \dfrac{\Psi^2(0)}{2}\\
=\dfrac{\Psi^2(t)}{2}
\end{array}

On va donc démontrer par récurrence la formule suivante :

T^n(1) = \dfrac{\Psi^n}{n!}

Si n = 1, la formule est vraie par définition de Ψ. Passons donc à l’hérédité :

\begin{array}{l}
\text{On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé}\\
\text{Soit } t \in [0,r], T^{n+1}(1)(t) \\
= T(T^n(1))(t) \\
= T\left(\dfrac{\Psi^n}{n!}\right)(t)\\
= \displaystyle \int_0^t \dfrac{\Psi^n(s)}{n!} \psi(s) ds\\
= \displaystyle \int_0^t \dfrac{\Psi^n(s)}{n!} \Psi'(s) ds\\
= \dfrac{\Psi^{n+1}(t)}{(n+1)!} -  \dfrac{\Psi^{n+1}(0)}{(n+1)!}\\
=\dfrac{\Psi^{n+1}(t)}{(n+1)!}\end{array}

Ce qui nous donne bien le résultat voulu.

Question 5

Passons maintenant au lemme de Gronwall. Posons la fonction suivante :

g(t) = \dfrac{A + T(f)(t)}{\exp(T(1)(t))} = \dfrac{A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds}{\exp(\int_0^t \psi(s)ds)}

Maintenant dérivons :

g'(t) = \psi(t)\dfrac{f(t) -A-T(f)}{\exp(T(f))} \leq 0 

Donc g est décroissante. Ce qui nous amène à conclure que :

\begin{array}{l}
g(t) \leq g(0)\\
\Leftrightarrow \dfrac{A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds}{\exp(\int_0^t \psi(s)ds)} \leq A\\
\Leftrightarrow A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds \leq A\exp(\int_0^t \psi(s)ds)\\
\text{Or, } f(t) \leq  A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds \\
\text{Donc, } f(t) \leq A\exp(\int_0^t \psi(s)ds)
\end{array}

Ce qui est bien la conclusion attendue. On a démontré le lemme de Gronwall.

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