Voici l’énoncé, la partie spécifique au lemme de Gronwall est la question 5

Question 1
Montrons que T est un endomorphisme croissant.
Montrons d’abord que c’est un endomorphisme :
\begin{array}{l} Soit\ f, g \in E\ et \ \lambda \in \mathbb{R}\\ Soit\ t \in [0;r]\\ T(f+\lambda g )(t) = \displaystyle \int_0^t (f+\lambda g)(s) \psi(s) ds\\ T(f+\lambda g )(t) = \displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds+ \lambda \int_0^t g(s) \psi(s) ds \\ T(f+\lambda g )(t) = T(f)(t) + \lambda T(g)(t)\\ \text{L'égalité est vraie pour tout t, on a donc : }\\ T(f+\lambda g ) = T(f) + \lambda T(g)\\ \end{array}
Ce qui prouve bien que T est un endomorphisme.
Montrons maintenant que T est croissante
\begin{array}{l} \text{Soit } f \leq g \text{ c'est à dire que } \forall t \in [0;r], f(t) \leq g(t) \\ \text{On a, pour } s \in [0,t] \text{ et par positivité de } \psi : f(s)\psi(s) \leq g(s) \psi(s)\\ \text{Et donc en intégrant : } \displaystyle \int_0^t f(s)\psi(s) ds\leq \int_0^t g(s) \psi(s)ds\\ \Rightarrow T(f)(t) \leq T(g)(t)\\ \text{Le résultat étant indépendant de t : }\\ T(f) \leq T(g) \end{array}
Ce qui prouve la croissance de T.
Maintenant calculons sa norme.
Trouvons un majorant :
\begin{array}{l} Soit\ f \in E\\ |T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t \left|f(s)\psi(s)ds\right|\\ |T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}\displaystyle \int_0^t \left|\psi(s)\right|ds\\ |T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}\displaystyle \int_0^r \left|\psi(s)\right|ds \\ |T(f)(t)| \leq ||f||_{\infty}||\psi||_1 \\ \end{array}
On a donc la majoration suivante :
||T(f)|| \leq ||f||_{\infty}||\psi||_1 \\
En prenant f = 1, la fonction constante qui est de norme 1, on a :
T(f)(r) = \displaystyle\int_0^r 1 \times \psi(s) ds = ||\psi||_1
Qui atteint bien le majorant. La norme de T est donc
||\psi||_1
Question 2
Recherchons maintenant les espaces propres de T, donc les vecteurs propres et valeurs propres.
\begin{array}{l} \text{Soit }\lambda \in \mathbb{R}\ et\ f \in E \\ \text{On cherche à résoudre } T(f) = \lambda f\\ \Leftrightarrow \forall t \in [0;r], \displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds = \lambda f(t) \\ \text{f étant continue, }\displaystyle \int_0^t f(s) \psi(s) ds \text{ est de classe } C^1\\ \text{Donc f est de classe } C^1 \end{array}
On va donc dériver l’égalité obtenue au dessus :
f(t) \psi(t) ds = \lambda f'(t)
Ce qui nous donne une équation différentielle qu’on va résoudre. Il s’agit d’une équation linéaire d’ordre 1, sans second membre. On peut donc donner directement le résultat :
\begin{array}{l} f(t) = K \displaystyle e^{\frac{1}{\lambda}\int_0^t\psi(s)ds} \end{array}
Cet ensemble de fonctions est donc l’espace propre associé à λ.
Question 3
Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
Initialisation (n = 1)
\begin{array}{l} |T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t |f(s) \psi(s)| ds\\ \Rightarrow|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t ||f||_{\infty} |\psi(s)| ds\\ \Rightarrow|T(f)(t)| \leq \displaystyle \int_0^t ||f||_{\infty} ||\psi||_{\infty} ds\\ \Rightarrow|T(f)(t)| \leq t ||f||_{\infty} ||\psi||_{\infty} = \dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^1 ||f||_{\infty}}{1!} \end{array}
La propriété est donc vraie au rang 1.
Hérédité (P(n) => P(n+1))
\begin{array}{l} \text{On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé}\\ \text{Montrons qu'elle est vraie au rang n+1}\\ |T^{n+1}(f)(t)| = |T(T^n(f))(t)| \leq T\left(\dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!}\right)\\ \text{On a utilisé ici l'hypothèse de récurrence et}\\ \text{la croissance de l'endomorphisme montré à la question 1}\\ \text{Or, } \left|T\left(\dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!}\right)\right| \\ = \displaystyle \int_0^t \dfrac{(s ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!} \psi(s) ds\\ \leq \displaystyle \int_0^t \dfrac{(s ||\psi||_{\infty})^n ||f||_{\infty}}{n!} ||\psi||_{\infty} ds\\ = \dfrac{( ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{n!}\displaystyle \int_0^t s^n ds\\ = \dfrac{( ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{n!}\displaystyle \dfrac{t^n}{n+1}\\ = \dfrac{(t ||\psi||_{\infty})^{n+1} ||f||_{\infty}}{(n+1)!}\displaystyle \\ \end{array}
Ce qui nous donne bien le résultat attendu
Question 4
Regardons le résultat pour n = 2 et essayons d’extrapoler une formule générale :
\begin{array}{l} \text{Soit } t \in [0;r]\\ T^2(1)(t) \\ = T(T(1))(t) \\ = T(\Psi)(t) \\ = \displaystyle\int_0^t \Psi(s)\psi(s) ds\\ = \displaystyle\int_0^t \Psi(s)\Psi'(s)ds\\ = \dfrac{\Psi^2(t)}{2} - \dfrac{\Psi^2(0)}{2}\\ =\dfrac{\Psi^2(t)}{2} \end{array}
On va donc démontrer par récurrence la formule suivante :
T^n(1) = \dfrac{\Psi^n}{n!}
Si n = 1, la formule est vraie par définition de Ψ. Passons donc à l’hérédité :
\begin{array}{l} \text{On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé}\\ \text{Soit } t \in [0,r], T^{n+1}(1)(t) \\ = T(T^n(1))(t) \\ = T\left(\dfrac{\Psi^n}{n!}\right)(t)\\ = \displaystyle \int_0^t \dfrac{\Psi^n(s)}{n!} \psi(s) ds\\ = \displaystyle \int_0^t \dfrac{\Psi^n(s)}{n!} \Psi'(s) ds\\ = \dfrac{\Psi^{n+1}(t)}{(n+1)!} - \dfrac{\Psi^{n+1}(0)}{(n+1)!}\\ =\dfrac{\Psi^{n+1}(t)}{(n+1)!}\end{array}
Ce qui nous donne bien le résultat voulu.
Question 5
Passons maintenant au lemme de Gronwall. Posons la fonction suivante :
g(t) = \dfrac{A + T(f)(t)}{\exp(T(1)(t))} = \dfrac{A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds}{\exp(\int_0^t \psi(s)ds)}
Maintenant dérivons :
g'(t) = \psi(t)\dfrac{f(t) -A-T(f)}{\exp(T(f))} \leq 0
Donc g est décroissante. Ce qui nous amène à conclure que :
\begin{array}{l} g(t) \leq g(0)\\ \Leftrightarrow \dfrac{A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds}{\exp(\int_0^t \psi(s)ds)} \leq A\\ \Leftrightarrow A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds \leq A\exp(\int_0^t \psi(s)ds)\\ \text{Or, } f(t) \leq A + \int_0^t f(s)\psi(s) ds \\ \text{Donc, } f(t) \leq A\exp(\int_0^t \psi(s)ds) \end{array}
Ce qui est bien la conclusion attendue. On a démontré le lemme de Gronwall.