Démontrer qu’une application est un produit scalaire

Dans cet article, nous allons vous montrer la méthode pour pouvoir démontrer de manière générale qu’une application est un produit scalaire.

Pour appuyer la méthodologie, nous allons montrer que l’application définie sur les polynômes à coefficients réels par \langle P, Q \rangle = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a_kb_k où P et Q s’écrivent sous la forme P = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a_kX^k et Q = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} b_kX^k .

Notons que cette somme est finie car le degré d’un polynôme est fini.

Montrer que l’application est une forme

Pour rappel, voici la définition d’une forme. Soit \mathbb{K} un corps. Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Une forme est une application linéaire f : E \to \mathbb{K}. Dans le cas d’un produit scalaire, on a \mathbb{K} = \mathbb{R}.

Si on revient à notre exemple, il est évident que c’est une forme car notre image est une somme finie de produits de réels, donc un réel.

Montrer que l’application est symétrique

Pour que l’application soit symétrique pour un produit scalaire quelconque sur un espace vectoriel E, il faut et il suffit que \forall u,v \in E , \langle u,v \rangle = \langle v, u \rangle .

Concernant notre exemple, cela fonctionne bien :

\forall P,Q \in \mathbb{R}[X], \langle P,Q \rangle = \sum_{k=0}^{+\infty} a_kb_k = \sum_{k=0}^{+\infty} b_ka_k= \langle Q,P\rangle

Ce qui suffit à montrer que l’application est symétrique

Montrer que l’application est bilinéaire

Ensuite, pour démontrer que l’application est bilinéaire, 2 opérations :

• On montre qu’elle est linéaire à gauche : \forall u,u', v \in E, \forall \lambda \in \mathbb{R} , \langle u + \lambda u', v \rangle = \langle u , v \rangle+\lambda \langle u', v \rangle
• Puis on montre qu’elle est linéaire à droite : \forall u, v, v' \in E, \forall \lambda \in \mathbb{R} , \langle u ', v + \lambda v' \rangle = \langle u , v \rangle+\lambda \langle u, v' \rangle

En pratique, si l’application est linéaire à gauche et symétrique, alors elle est linéaire à droite. Donc on va d’abord montrer que l’application est symétrique et on montrera seulement qu’elle est linéaire à gauche.

Revenons à notre exemple, soient \displaystyle P_1 = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k, P_2 = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k', Q = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \in \mathbb{R}[X], \lambda \in \mathbb{R}, on a :

\begin{array}{ll}
\langle P_1 + \lambda P_2 , Q \rangle & = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (a_k + \lambda a_k' ) b_k \\
 & = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a_kb_k + \lambda a_k'  b_k \\
 & = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a_kb_k + \lambda  \sum_{k=0}^{+\infty} a_k'  b_k\\ 
 & = \displaystyle \langle P_1,Q \rangle + \lambda \langle P_2, Q \rangle
\end{array}

Ce qui suffit pour conclure que l’application est bilinéaire.

Montrer que l’application est positive

Cela signifie que \forall u \in E, \langle u, u \rangle \geq 0 .

Dans le cas de notre application, c’est tout simple :

\forall P \in \mathbb{R}[X], \langle P,P\rangle = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k^2 \geq 0 

Montrer que l’application est définie

Attention, définie n’est pas au sens usuel. Ici, cela signifie \forall u \in E, \langle u, u \rangle = 0 \Rightarrow u = 0 .

Une fois que l’on a fait toutes ces étapes, on peut conclure que l’on a bien un produit scalaire.

Dans le cas de notre exemple, \displaystyle \forall P \in \mathbb{R}[X], \langle P,P\rangle = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k^2 = 0 \iff \forall k \in \mathbb{N}, a_k^2 = 0 \iff \forall k \in \mathbb{N}, a_k = 0 \iff P = 0. On conclut donc que notre exemple est bien un produit scalaire.