Les différents types de moyenne

Cet article a pour but de présenter quatre types différents de moyenne et de les comparer.
On disposera pour chacune de ces moyennes de n points notés

x_1, \ldots, x_n

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est la moyenne la plus standard. Elle est définie par

A = \dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n} = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_1}{n}

Les points peuvent être des entiers, des réels ou encore des objets plus exotiques comme des complexes, des matrices, ou plus généralement des éléments du même espace vectoriel.

Une variante de la moyenne arithmétique est la moyenne pondérée. On dispose de n poids p_1, \ldots, p_n qui sont les pondérations de nos n points. Cette moyenne pondérée est alors définie par

A_{pond} = \dfrac{p_1x_1+\ldots+p_nx_n}{n} = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n p_ix_1}{\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i}

Moyenne d’une fonction

On peut aussi définir la moyenne d’une fonction f sur un intervalle [a,b] sur lequel elle est définie par :

M = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(t) dt

On peut aussi la pondérer par une fonction g strictement positive et dont l’intégrale existe :

M_g(f)  = \dfrac{ \int_a^b f(t)g(t) dt}{ \int_a^b g(t) dt}

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique F est définie sur les réels positifs par :

G = \sqrt[n]{x_1\ldots x_n} =\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}

Imaginez qu’on calcule votre moyenne de classe par la moyenne géométrique. Un 0 dans le trimestre ou le semestre et hop, votre moyenne passe à 0 !

On a :

G \leq A

Pour la preuve, il suffit d’aller voir notre article sur les exercices corrigés de convexité.

Moyenne harmonique

La moyenne harmonique H est définie par :

H = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}} = \dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}

Dans le cas n = 2, on peut réécrire cette moyenne sous la forme :

H = 2 \dfrac{x_1x_2}{x_1+x_2}

Si on calcule la résistance équivalente de 2 résistances R₁ et R₂ en parallèle, on obtient :

R_{eq} = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}

Pas loin de la moyenne harmonique, non ?

On a la relation suivante :

H \leq G

La moyenne quadratique

On peut définir la moyenne quadratique par :

Q = \sqrt{x_1^2+\ldots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}

On a la relation suivante :

A \leq Q

Donc si votre professeur vous demande comment calculer votre moyenne, parlez-lui de la moyenne quadratique ! Cela ne pourra qu’être à votre avantage !

Relations entre ces moyennes

On a les relations suivantes, qui permettent d’ordonner ces différentes moyennes :

H \leq G \leq A \leq Q