Au sommaire de cet article
Prérequis
- Image et antécédent
- Fonction carrée
- La valeur absolue
Définition de la racine carrée
La fonction racine est une fonction définie sur les réels positifs ou nuls. En voici sa définition. Pour tout x ≥ 0, il existe un unique y ≥ 0, tel que x = y2 ce nombre y est appelé racine de x.
Voici sa courbe représentative :
Propriétés de la racine carrée
La fonction racine est croissante sur son ensemble de dérivation.
On a les propriétés suivantes :
\begin{array}{l}\forall a,b\in\mathbb{R}_+,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\\
\forall a,b\ \in\mathbb{R}_+,\ \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\end{array}Par contre on n’a pas, de manière générale :
\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}Exemple :
\begin{array}{l}\sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 =2\\
\sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1,414 \neq 2 \end{array}Par contre, on a les inégalités suivantes :
\begin{array}{l}\sqrt{a+b}\ \le\ \sqrt{a}\ +\ \sqrt{b}\\
\sqrt{a-b}\ \ge\ \left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|\end{array}Lien avec la fonction carrée
On a les propriétés suivantes :
\begin{array}{l}\forall x \in\mathbb{R}_+, \left(\sqrt{x}\right)^2 = x\\
\forall x \in\mathbb{R}, \sqrt{x^2} = \left|x\right|\end{array}Résolution d’équations
En notant f la fonction racine, l’équation f(x) = a aura :
\begin{array}{l}
1\text{ solution si } a \ge 0 : x = a^2\\
\text{Pas de solution si } a < 0
\end{array}Résolution d’inéquations
On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a
\begin{array}{l}\text{Si } a< 0 : \text{La solution est } \mathbb{R}_+\\
\text{Si } a \ge 0 :\text{La solution est } x \ge a^{2\ }\end{array}Résolvons maintenant f(x) ≤ a. Voici les solutions selon les valeurs de a.
\begin{array}{l}\text{Si }a< 0 : \text{L'inéquation n'a pas de solution}\\
\text{Si } a \ge 0 : \text{La solution est }0 \le x \le a^{2\ }\end{array}Quelques valeurs
| x | racine carrée de x (à 3 chiffres significatifs près) |
| 1 | 1 |
| 2 | 1,414 |
| 3 | 1,732 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2,236 |
| 6 | 2,449 |
| 7 | 2,646 |
| 8 | 2,828 |
| 9 | 3 |
| 10 | 3,162 |
Calculatrice de racines carrées
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Exemple
Exemple 1
Résoudre l’équation suivante :
\sqrt{x} = xOn élève au carré de chaque côté :
\begin{array}{l}x^2\ =\ x\\
\Leftrightarrow\ x^{2\ }-\ x\ =\ 0\\
\Leftrightarrow\ x\left(x-1\right)\ =\ 0\\
\Leftrightarrow\ x\ =\ 0\ ou\ x\ =\ 1\ \end{array}Exemple 2
Résoudre l’inéquation suivante :
\sqrt{x}\leq 2On applique le cours pour obtenir :
0 \leq x \leq 4
Exemple 3
Enlever la racine au dénominateur :
\frac{2}{\sqrt{3}-1}On multiplie au numérateur et au dénominateur par ce qu’on appelle la racine conjuguée :
\begin{array}{l}
\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\ \\ \\
=\ \dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ \\
=\ \dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\\ \\
=\sqrt{3}+1\end{array}Exercices
Exercice 1
Résoudre les équations suivantes :
\begin{array}{l}3\sqrt{x}\ +\ 1\ =\ 7\ \\ \\
1\ -\ 4\sqrt{x}\ =\ 5\\ \\
\sqrt{5\ -\sqrt{3x}}=\ 2\end{array}Exercice 2
Enlever les racines des dénominateurs (comme dans l’exemple 3)
\begin{array}{l}\left(a\right)\ \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ \\
\left(b\right)\ \dfrac{2}{\sqrt{x-1}+1}\\ \\
\left(c\right)\ \dfrac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\end{array}Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{array}{l}\sqrt{x}\le\ 25\\
\sqrt{x}\ \ge\ 81\\
\sqrt{x}\ >\ -2\\
\sqrt{x}\ \le\ 10^{-4}\end{array}Exercice 4
Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{x-14}\\
f\left(x\right)=\sqrt{x^2+4}\\
f\left(x\right)=\sqrt{-x}\\
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{7-x}\\
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{\dfrac{3-x}{4-x}}\ \end{array}Pour la dernière, on pourra s’inspirer des résultats sur la fonction inverse.
Exercice 5
Soit f la fonction définie par
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{9-x^2}- Quel est l’ensemble de définition de f ?
- f est-elle paire ?
- Dresser le tableau de variation de f.
- Tracer la courbe D représentative de la fonction f
5. (Nécessite une connaissance sur les fonctions du second degré) : On pose g(x) = -2x. Etudier la position relative entre la courbe représentative de f et celle de g.
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