La fonction racine carrée : Cours, exercices et calculateur
Au sommaire de cet article
Prérequis
Définition de la racine carrée
La fonction racine est une fonction définie sur les réels positifs ou nuls. En voici sa définition. Pour tout x ≥ 0, il existe un unique y ≥ 0, tel que x = y2 ce nombre y est appelé racine de x.
Voici sa courbe représentative :
Propriétés de la racine carrée
La fonction racine est croissante sur son ensemble de dérivation.
On a les propriétés suivantes :
\begin{array}{l}\forall a,b\in\mathbb{R}_+,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\\
\forall a,b\ \in\mathbb{R}_+,\ \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\end{array}Par contre on n’a pas, de manière générale :
\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}Exemple :
\begin{array}{l}\sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 =2\\
\sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1,414 \neq 2 \end{array}Par contre, on a les inégalités suivantes :
\begin{array}{l}\sqrt{a+b}\ \le\ \sqrt{a}\ +\ \sqrt{b}\\
\sqrt{a-b}\ \ge\ \left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|\end{array}Lien avec la fonction carrée
On a les propriétés suivantes :
\begin{array}{l}\forall x \in\mathbb{R}_+, \left(\sqrt{x}\right)^2 = x\\
\forall x \in\mathbb{R}, \sqrt{x^2} = \left|x\right|\end{array}Résolution d’équations
En notant f la fonction racine, l’équation f(x) = a aura :
\begin{array}{l}
1\text{ solution si } a \ge 0 : x = a^2\\
\text{Pas de solution si } a < 0
\end{array}Résolution d’inéquations
On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a
\begin{array}{l}\text{Si } a< 0 : \text{La solution est } \mathbb{R}_+\\
\text{Si } a \ge 0 :\text{La solution est } x \ge a^{2\ }\end{array}Résolvons maintenant f(x) ≤ a. Voici les solutions selon les valeurs de a.
\begin{array}{l}\text{Si }a< 0 : \text{L'inéquation n'a pas de solution}\\
\text{Si } a \ge 0 : \text{La solution est }0 \le x \le a^{2\ }\end{array}Quelques valeurs
| x | racine carrée de x (à 3 chiffres significatifs près) |
| 1 | 1 |
| 2 | 1,414 |
| 3 | 1,732 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2,236 |
| 6 | 2,449 |
| 7 | 2,646 |
| 8 | 2,828 |
| 9 | 3 |
| 10 | 3,162 |
Calculatrice de racines carrées
Vous souhaitez vérifier la valeur d’une racine ? Alors utilisez notre calculateur de racines !
Exemple
Exemple 1
Résoudre l’équation suivante :
\sqrt{x} = xOn élève au carré de chaque côté :
\begin{array}{l}x^2\ =\ x\\
\Leftrightarrow\ x^{2\ }-\ x\ =\ 0\\
\Leftrightarrow\ x\left(x-1\right)\ =\ 0\\
\Leftrightarrow\ x\ =\ 0\ ou\ x\ =\ 1\ \end{array}Exemple 2
Résoudre l’inéquation suivante :
\sqrt{x}\leq 2On applique le cours pour obtenir :
0 \leq x \leq 4
Exemple 3
Enlever la racine au dénominateur :
\frac{2}{\sqrt{3}-1}On multiplie au numérateur et au dénominateur par ce qu’on appelle la racine conjuguée :
\begin{array}{l}
\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\ \\ \\
=\ \dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ \\
=\ \dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\\ \\
=\sqrt{3}+1\end{array}Exercices
Exercice 1
Résoudre les équations suivantes :
\begin{array}{l}3\sqrt{x}\ +\ 1\ =\ 7\ \\ \\
1\ -\ 4\sqrt{x}\ =\ 5\\ \\
\sqrt{5\ -\sqrt{3x}}=\ 2\end{array}Exercice 2
Enlever les racines des dénominateurs (comme dans l’exemple 3)
\begin{array}{l}\left(a\right)\ \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ \\
\left(b\right)\ \dfrac{2}{\sqrt{x-1}+1}\\ \\
\left(c\right)\ \dfrac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\end{array}Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{array}{l}\sqrt{x}\le\ 25\\
\sqrt{x}\ \ge\ 81\\
\sqrt{x}\ >\ -2\\
\sqrt{x}\ \le\ 10^{-4}\end{array}Exercice 4
Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{x-14}\\
f\left(x\right)=\sqrt{x^2+4}\\
f\left(x\right)=\sqrt{-x}\\
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{7-x}\\
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{\dfrac{3-x}{4-x}}\ \end{array}Pour la dernière, on pourra s’inspirer des résultats sur la fonction inverse.
Exercice 5
Soit f la fonction définie par
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{9-x^2}- Quel est l’ensemble de définition de f ?
- f est-elle paire ?
- Dresser le tableau de variation de f.
- Tracer la courbe D représentative de la fonction f
5. (Nécessite une connaissance sur les fonctions du second degré) : On pose g(x) = -2x. Etudier la position relative entre la courbe représentative de f et celle de g.
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