La fonction racine carrée : Cours, exercices et calculateur

Tout savoir sur la racine carrée : Définition, propriété, exemples et exercices, la racine carrée n’aura plus de secret pour vous.
La racine carrée

Prérequis

Définition de la racine carrée

La fonction racine est une fonction définie sur les réels positifs ou nuls. En voici sa définition. Pour tout x ≥ 0, il existe un unique y ≥ 0, tel que x = y2 ce nombre y est appelé racine de x.

Voici sa courbe représentative :

Racine carrée

Propriétés de la racine carrée

La fonction racine est croissante sur son ensemble de dérivation.

On a les propriétés suivantes :

\begin{array}{l}\forall a,b\in\mathbb{R}_+,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\\
\forall a,b\ \in\mathbb{R}_+,\ \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\end{array}

Par contre on n’a pas, de manière générale :

\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}

Exemple :

\begin{array}{l}\sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 =2\\
\sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1,414 \neq 2 \end{array}

Par contre, on a les inégalités suivantes :

\begin{array}{l}\sqrt{a+b}\ \le\ \sqrt{a}\ +\ \sqrt{b}\\
\sqrt{a-b}\ \ge\ \left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|\end{array}

Lien avec la fonction carrée

On a les propriétés suivantes :

\begin{array}{l}\forall x \in\mathbb{R}_+, \left(\sqrt{x}\right)^2 = x\\ 
\forall x \in\mathbb{R}, \sqrt{x^2} = \left|x\right|\end{array}

Résolution d’équations

En notant f la fonction racine, l’équation f(x) = a aura :

\begin{array}{l}
1\text{ solution si } a \ge 0 : x = a^2\\
\text{Pas de solution si } a < 0 
\end{array}

Résolution d’inéquations

On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a

\begin{array}{l}\text{Si } a< 0 : \text{La solution est } \mathbb{R}_+\\
\text{Si }  a \ge 0 :\text{La solution est } x \ge a^{2\ }\end{array}

Résolvons maintenant f(x) ≤ a. Voici les solutions selon les valeurs de a.

\begin{array}{l}\text{Si }a< 0 : \text{L'inéquation n'a pas de solution}\\
\text{Si } a \ge 0 : \text{La solution est }0 \le x \le a^{2\ }\end{array}

Quelques valeurs

xracine carrée de x (à 3 chiffres significatifs près)
11
21,414
31,732
42
52,236
62,449
72,646
82,828
93
103,162

Calculatrice de racines carrées

Vous souhaitez vérifier la valeur d’une racine ? Alors utilisez notre calculateur de racines !

Exemple

Exemple 1
Résoudre l’équation suivante :

\sqrt{x} = x

On élève au carré de chaque côté :

\begin{array}{l}x^2\ =\ x\\
\Leftrightarrow\ x^{2\ }-\ x\ =\ 0\\
\Leftrightarrow\ x\left(x-1\right)\ =\ 0\\
\Leftrightarrow\ x\ =\ 0\ ou\ x\ =\ 1\ \end{array}

Exemple 2
Résoudre l’inéquation suivante :

\sqrt{x}\leq 2

On applique le cours pour obtenir :

0 \leq x \leq 4

Exemple 3
Enlever la racine au dénominateur :

\frac{2}{\sqrt{3}-1}

On multiplie au numérateur et au dénominateur par ce qu’on appelle la racine conjuguée :

\begin{array}{l}
\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\ \\ \\
=\ \dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ \\
=\ \dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\\ \\
=\sqrt{3}+1\end{array}

Exercices

Exercice 1
Résoudre les équations suivantes :

\begin{array}{l}3\sqrt{x}\ +\ 1\ =\ 7\ \\ \\
1\ -\ 4\sqrt{x}\ =\ 5\\ \\
\sqrt{5\ -\sqrt{3x}}=\ 2\end{array}

Exercice 2
Enlever les racines des dénominateurs (comme dans l’exemple 3)

\begin{array}{l}\left(a\right)\ \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ \\
\left(b\right)\ \dfrac{2}{\sqrt{x-1}+1}\\ \\
\left(c\right)\ \dfrac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\end{array}

Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{array}{l}\sqrt{x}\le\ 25\\
\sqrt{x}\ \ge\ 81\\
\sqrt{x}\ >\ -2\\
\sqrt{x}\ \le\ 10^{-4}\end{array}

Exercice 4
Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{x-14}\\
f\left(x\right)=\sqrt{x^2+4}\\
f\left(x\right)=\sqrt{-x}\\
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{7-x}\\
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{\dfrac{3-x}{4-x}}\ \end{array}

Pour la dernière, on pourra s’inspirer des résultats sur la fonction inverse.

Exercice 5
Soit f la fonction définie par

f\left(x\right)\ =\ \sqrt{9-x^2}
  1. Quel est l’ensemble de définition de f ?
  2. f est-elle paire ?
  3. Dresser le tableau de variation de f.
  4. Tracer la courbe D représentative de la fonction f
    5. (Nécessite une connaissance sur les fonctions du second degré) : On pose g(x) = -2x. Etudier la position relative entre la courbe représentative de f et celle de g.

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