Prérequis

Définition

On définit le coefficient binomial k parmi n, par :

\begin{array}{l}Soit\ k,n\ \in \ \mathbb{N},\ k\ \le \ n\\ \\
On\ définit\ \binom{n}{k}\ par\\ \\
\binom{n}{k}\ =\ \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\end{array}

Propriétés des coefficients binomiaux

Quelques valeurs

k = 0, c’est facile !

\binom{n}{0}\ =\ \frac{n!}{0!\left(n-0\right)!}=\frac{n!}{n!}=1

Pour k = 1, une petite simplification et on a un beau résultat

\binom{n}{1}\ =\ \frac{n!}{1!\left(n-1\right)!}=\frac{(n-1)!n}{1!(n-1)!}=n

k = 2, ce sera le plus difficile à retenir mais on s’arrête là pour les cas à retenir. Au-dessus, on se réfèrera à la formule générale.

\begin{array}{l}\binom{n}{2}\ =\ \frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}\\ \\
=\frac{(n-1)!n}{2!(n-2)!}\\ \\
=\frac{\left(n-2\right)!\left(n-1\right)n}{2\left(n-2\right)!}\\ \\
=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\end{array}

Triangle de Pascal

On a la formule suivante, appelée Formule de Pascal :

\binom{n}{k}\ =\ \binom{n-1}{k-1}\ +\ \binom{n}{k}

Et voici le triangle de Pascal :

\begin{array}{c}&&&&&1&&&&&\\
&&&&1&&1&&&&\\
&&&1&&2&&1&&&\\
&&1&&3&&3&&1&&\\
&1&&4&&6&&4&&1&\\
1&&5&&10&&10&&5&&1
\end{array}

Le terme k de la ligne n est k parmi n. On obtient un terme dans le triangle en le sommant par les 2 qui sont au-dessus de lui. Grâce à ce triangle, on a une représentation géométrique de la formule de Pascal.

Symétrie des coefficients binomiaux

Pour tout k et n entiers, on a

\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

La démonstration est toute simple :

\binom{n}{k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\binom{n}{n-k}

Une autre formule

On a la formule suivante :

k\binom{n}{k}\ =n\ \binom{n-1}{k-1}\ 

La démonstration est la suivante

\begin{array}{l}k\ \binom{n}{k}\ =\ k\ \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\\ \\
=\ k\ \frac{\left(n-1\right)!n}{\left(k-1\right)!k\left(n-k\right)!}\\ \\
=n\ \frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)\left(n-k\right)!}\\ \\
=n\ \binom{n-1}{k-1}\end{array}

Si vous voulez découvrir des applications sur les coefficients binomiaux, allez voir notre article sur les anagrammes.

Exercices

Exercice 1
Calculer sans calculatrice les coefficients binomiaux suivants :

\binom{13}{11}\ \ \ \ \ \ \ \binom{9}{3}\ \ \ \ \ \ \ \binom{8}{4}

Exercice 2
Utiliser le triangle de Pascal pour simplifier la formule suivante :

\sum_{k=p}^n\binom{k}{p}

Exercice 3
On note Sn la somme suivante :

S_{n\ }=\ \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^k\ \binom{2n+1}{k}

Utilisez la formule de Pascal pour en déduire Sn.
Indication : Ecrire les premiers termes de la somme pour bien comprendre ce qu’il se passe

Exercice 4
Soient n et k des entiers tels que 1 ≤ k ≤ n. Montrer les égalités suivantes :

\begin{array}{l}k\ \binom{n}{k}\ =\ \left(n-k+1\right)\ \binom{n}{k-1}\\ \\
\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k+1}\binom{n+1}{k}\ =\binom{n-1}{k}\binom{n}{k-1}\binom{n+1}{r+1}\end{array}

Exercice 5
Résoudre l’équation suivante :

\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}\ =\ 5n

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