Exercices corrigés : Anneaux et corps

Voici des exercices corrigés détaillés sur les corps et anneaux.
anneaux

Voici des énoncés d’exercices sur les anneaux et corps en mathématiques. Si vous souhaitez voir des énoncés, allez plutôt voir nos exercices de anneaux et corps.

Ces exercices sont faisables en MPSI ou en MP/MPI selon les notions demandées. Voici les énoncés :

Exercice 85

Morphisme d'anneaux de R

Pour rappel, un tel morphisme doit vérifier ces trois propriétés :

\begin{array}{l}
f(1) =1\\
\forall x,y \in \mathbb{R}, f(x+y) = f(x)+f(y)\\
\forall x,y \in \mathbb{R}^*, f(xy) = f(x)f(y)
\end{array}

Par une récurrence assez immédiate, on montre que

\forall n \in \mathbb{N}, f(n) = n 

En effet :
Initialisation
On a :

f(0+0) = f(0) + f(0)

Donc

f(0) = 2f(0)

Ainsi, f(0) = 0
Hérédité
Soit n un entier fixé vérifiant la propriété. On a alors :

f(n+1) = f(n)+f(1) = n + f(1) = n+1

L’hérédité est vérifiée. On a donc bien démontré le résultat voulu par récurrence.

Maintenant, pour les entiers négatifs, on a, en utilisant les positifs. Soit n < 0, n entier. On utilise le fait que -n > 0

0 = f(n-n) = f(n)+ f(-n) =f(n) - n

Et donc

\forall n \in \mathbb{Z}, f(n) = n

Maintenant, prenons

r = \dfrac{p}{q}

un rationnel. On a

\begin{array}{ll}
q f(r) &= q f\left( \dfrac{p}{q} \right)\\
&= pqf\left( \dfrac{1}{q} \right)\\
&= pf\left( \dfrac{q}{q} \right) \\
&= p
\end{array}

On obtient alors :

\forall r \in \mathbb{Q}, f(r) = \dfrac{p}{q} = r

Montrons maintenant que f est croissante. Utilisons ce premier résultat intermédiaire : Soit

x \in \mathbb{R}_+^*

On a :

 f(x) = f(\sqrt{x}^2)=f(\sqrt x)f(\sqrt x) =  f(\sqrt x)^2 > 0

Soit x < y. On a alors

f(y) - f(x) = f(y-x) > 0

Donc f est croissante.

On va maintenant utiliser la densité de Q dans R. Soit x un réel. On peut encadrer par 2 rationnels ce réel :

\forall \varepsilon > 0, \exists q_1, q_2 \in \mathbb{Q}, |q_2-q_1|\leq \varepsilon, q_1\leq x \leq q_2

On a alors, par croissance de f :

\begin{array}{ll}
& f(q_1)\leq f (x) \leq f(q_2)\\
\iff & q_1\leq f (x) \leq q_2
\end{array}

Comme ε a été choisi arbitrairement, on obtient en passant à la limite :

f(x) = x

Exercice 932

Sous corps de R

Question 1

Cet ensemble est un sous-groupe additif du corps des réels :

  • Il est stable par addition :
(a+b\sqrt{2})+(a'+b'\sqrt{2})=(a+a') + (b+b')\sqrt{2}
  • Le symétrique reste bien dans l’ensemble :
-(a+b\sqrt{2})= -a-b\sqrt{2} \in \mathbb{Q} (\sqrt{2})

Cet ensemble est stable par produit :

(a+b\sqrt{2})(a'+b'\sqrt{2}) = aa'+2bb' + \sqrt{2}(ab'+a'b) \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})

En prenant a = 1 et b = 0, le neutre pour la multiplication appartient bien à notre ensemble.
Concernant l’inverse, montrons que

\dfrac{1}{a+b\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})

En effet,

\begin{array}{rl}
\dfrac{1}{a+b\sqrt{2}} & = \dfrac{1}{a+b\sqrt{2}} \dfrac{a-b\sqrt{2}}{a-b\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{a-\sqrt{2}}{a^2-2b^2} \\
& =  \dfrac{a}{a^2-2b^2}+ \dfrac{1}{a^2-2b^2}\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})
\end{array}

Avec

a^2-2b^2 \neq 0 

par irrationnalité de racine de 2.

Tous ces éléments là nous suffisent à prouver que notre ensemble est bien un corps.

Question 2

D’après les axiomes de morphismes de corps, un tel morphisme doit vérifier

f(1)=1

De plus, un tel morphisme est totalement déterminé par 1 et

\sqrt{2}

qui génèrent le corps. On a ensuite :

2 = f(2) = f(\sqrt{2}^2) = f(\sqrt{2})^2

Donc

 f(\sqrt{2}) = \pm \sqrt{2}

Un tel morphisme donc nécessairement

f(a+b\sqrt{2}) = a \pm b \sqrt{2}

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