Dans notre article sur l’origine du nom Google ou encore dans celui sur les anagrammes, nous avons déjà parlé plusieurs fois de la notion de factorielle. Dans cet article nous allons nous attarder sur cette notion plus en profondeur.

Définitions

Définition par un produit

Soit n un entier naturel. La factorielle de n est alors définie par :

n! = \prod_{k=1}^n i = 1\times 2 \times 3 \times \ldots \times n



Avec

\prod_{i=1}^n

qui signifie « produit pour i allant de 1 à n »

Bien qu’on ait envie de dire « n factorielle », n! se prononce « Factorielle n »

Exemple :
3! = 3x2x1 = 6
5! = 5x4x3x2x1 = 120

Définition par récurrence

On pose 0! = 1
On a ensuite

(n+1)! = n! \times (n+1)

Cette définition peut être plus pratique dans certains calculs.

Exemple :
On veut calculer 3!
On calcule d’abord 1! = 0! x 1 = 1 x 1 = 1.
Puis, 2! = 1! x 2 = 1 x 2 = 2
Et enfin, 3! = 2! x 3 = 2 x 3 = 6
On a donc 3! = 6

On désire maintenant calculer 5!. On peut alors repartir du résultat précédent, 3! = 6
On en déduit que 4! = 3! x 4 = 6 x 4 = 24
Puis finalement, 5! = 4! x 5 = 24 x 5 = 120

Quelques propriétés

Croissance très rapide de la factorielle

Pour dépasser 1 000, il suffit de dépasser 7 : 7! = 5440

Pour dépasser 1 000 000, il suffit de dépasser 10 : 10! = 3 628 800

100! = 93326215 4439441526 8169923885 6266700490 7159682643 8162146859 2963895217 5999932299 1560894146 3976156518 2862536979 2082722375 8251185210 9168640000 0000000000 0000000000 => Un nombre plutôt énorme et on n’est qu’à 100.

Une approximation à un facteur 10 près de 1 000 000! est 105 565 709. Vu comme cela, on n’a pas l’impression que c’est énorme. Mais il faut se représenter un nombre avec 5 565 710 chiffres et se rendre compte à quel point ce serait gigantesque si on voulait l’écrire en entier.

Formule de Stirling

Pour les plus aguerris, voici un équivalent pour les factorielles :

n! \sim \sqrt{2\pi} \left( \frac{n}{e}\right)^n

Extensions liées à la factorielle

Hyperfactorielle

L’Hyperfactorielle, notée H(n), est définie comme le produit des n premiers nombres élevées à leur propre puissance, c’est-à-dire :

H(n) = \prod_{k=1}^n k^k = 1^1 .2^2 \ldots(n-1)^{n-1}.n^n

Exemple : H(4) = 11.22.33.44 = 1 x 4 x 9 x 25 = 900

Superfactorielle

Neil Sloane et Simon Plouffe ont défini la superfactorielle de n, notée sf(n), comme le produit des n premières factorielles :

Sf(n) = \prod{k=1}^n 1!.2! \ldots  (n-1)!n!

Exemples :

Sf(3) = 1! \times 2! \times 3! = 1\times 2 \times 6 =12 \\
Sf(5) = 1! \times 2! \times 3! \times 4! \times 5! = 1  \times  2  \times 6  \times  24  \times  120 = 34560

Quelques applications :

Compter le nombre d’anagrammes

Ranger des jeux de cartes

On prend un jeu de 52 cartes.
Le nombre de façons de le ranger s’écrit avec des factorielles. On a 52 cartes pour la carte du dessus. Il reste 51 cartes pour le choix suivant. Et ensuite 50 pour la troisième carte. Puis 49.. On a donc en nombre de choix :

52\times 51 \times 50 \times 49 \times \ldots \times 1 \approx 8,07.10^{67} 

Cet article vous a plu ? Alors retrouvez nos 5 derniers articles :


7 Comments

Laisser un commentaire