La continuité est une notion fondamentale en analyse. Dans cet article, nous allons en présenter les définitions avec les propriétés importantes ainsi que quelques exercices corrigés.
Prérequis
Cours sur la continuité
Pour étudier la continuité d’une fonction, il faut nécessairement se place là où elle est définie.
Définition avec des limites
Soit f : I \to \R . Soit a \in I .
- f est continue en a si et seulement si \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)
- f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
Définition avec des epsilons
C’est la définition de la continuité quand on est dans le supérieur. Soit f : I \to \R . Soit a \in I . f est continue en a si et seulement si \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, |x- a | < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a) | < \varepsilon
Définition avec des suites (séquentielle)
Soit f : I \to \R . Soit a \in I . f est continue en a si et seulement si \forall (u_n)_{n \in \N}, \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = a \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(a)
Propriétés
Les fonctions suivantes sont continues sur leur ensemble de définition :
- \forall n \in \mathbb{N}, x \mapsto x^n et toute fonction polynômiale
- x \mapsto \sqrt{x}
- x \mapsto \dfrac{1}{x}
- x \mapsto \cos(x)
- x \mapsto \sin(x)
- x \mapsto e^x
- x \mapsto \ln(x)
- x \mapsto |x|
De manière générale, toutes les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition.
Les propriétés suivantes sont vraies :
- La somme de deux fonctions continues est continue
- Le produit de deux fonctions continues est continu
- L’inverse d’une fonction continue qui ne s’annule pas est continue
- Une fonction continue multipliée par une constante reste continue
Un exemple de fonction non continue est la partie entière. La fonction indicatrice de \mathbb{Q} est un autre exemple, un peu plus compliqué.
Le théorème des valeurs intermédiaires (noté souvent TVI) est un des fondamentaux des fonctions continues.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Soit m \in \R . On pose f définie sur \R par
f(x) = \left \{ \begin{array}{ll}
\dfrac{x^2-1}{x+1} &\text{si } x \neq -1\\
m & \text{si } x = -1
\end{array}\right.Trouver m tel que f soit continue sur \R
Corrigé : On remarque que si x \neq 1, on a f(x) =\dfrac{x^2-1}{x+1} =\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1. Ensuite, on a \displaystyle \lim_{x \to -1} x- 1 = -2
Donc nécessairement m = -2
Exercice 2 – Equation fonctionnelle
Enoncé : Trouver toutes les fonctions continues telles que \forall x \in \R, f(2x) = f(x)
Corrigé : On remarque que f(x) = f \left(\dfrac{x}{2} \right) . Puis, en appliquant le même raisonnement à \dfrac{x}{2}, on obtient : f \left(\dfrac{x}{2} \right)=f \left(\dfrac{x}{4} \right) .
Puis, en faisant, un raisonnement par récurrence (laissé au lecteur), on obtient :
\forall n \in \N, f(x) = f \left(\dfrac{x}{2^n} \right) Or, \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{x}{2^n} = 0. On obtient donc :
f(0) = \lim_{n \to +\infty} f\left(\dfrac{x}{2^n} \right) = f(x) Donc f est constante est égal à f(0).
Prolongement : Essayer de généraliser à \forall x \in \R, f(x) = f(ax+b) avec a,b \in \R deux constantes.
Exercice 3
Enoncé : L’équation f(x+y) = f(x)+f(y)
Corrigé :
Et pour aller plus loin, intéressez-vous au prolongement par continuité !
