Le théorème de Bolzano-Weierstrass : Enoncé et démonstration

Qu’est-ce que le théorème de Bolzano-Weierstrass ? Découvrez dans cet article ce théorème fondamental concernant les suites.
Bolzano

Le théorème de Bolzano-Weierstrass est un des premiers théorème qu’on voit dans le supérieur. Dans cet article, nous allons l’énoncer et le démontrer.

Enoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass

Dans le cas réel

Le théorème de Bolzano-Weierstrass s’énonce comme suite : De toute suite bornée dans \mathbb{R}, on peut extraire une sous-suite convergente

Par exemple, la suite (u_n) définie par u_n = \cos(n) possède une sous-suite convergente.

Dans un espace métrisable

On peut généraliser ce théorème dans un espace métrique avec l’énoncé suivant : Un espace métrisable X est compact si et seulement si toute suite d’éléments de X admet une valeur d’adhérence. Ce qui est équivalent à dire si et seulement si toute suite d’éléments de X admet une sous-suite convergente.

Démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass

Par dichotomie

Parmi les démonstrations que l’on peut avoir, celle par dichotomie est plutôt simple à comprendre. La suite est bornée par un intervalle [a,b]. On découpe cet intervalle en deux \left[ a, \dfrac{a+b}{2} \right] et \left[ \dfrac{a+b}{2},b \right].

Puisque le nombre de termes de la suite est infini, un de ces intervalles contient un nombre infini de termes. On pose a_1 la borne inférieure de cet intervalle et b_1 la borne supérieure de cet intervalle. L’intervalle obtenu est de longueur \dfrac{b-a}{2}

On peut répéter le processus autant de fois que nécessaire, l’un des deux intervalles sera toujours infini. On obtient à la n-ème itération un intervalle de longueur \dfrac{b-a}{2^n}. Cela va nous permettre de converger vers une valeur d’adhérence.

Autre démonstration

Lemme : Toute suite réelle possède une sous-suite monotone.

Démonstration du lemme : Soit (u_n) une suite. n est un pic si \forall m > n, u_n > u_m . 2 cas se présentent alors :

  • Soit on a une infinité de pics et dans ce cas là on a obtenu une sous-suite strictement décroissante
  • Soit on a un nombre fini de pics. Dans ce cas, on peut construire une sous-suite strictement croissante. On prend un indice p_0 plus grand que tous les pics. On peut ensuite trouver p_1 > p_0 tel que x_{p_1}>x_{p_0} et itérer à partir de là.

Fin du lemme.

Cette sous-suite est monotone est bornée donc convergente, ce qui permet bien de démontrer le théorème

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