Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Cours et exercices corrigés

Cet article a pour but de présenter l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une inégalité parmi les plus connues en probabilités. 

Prérequis

L’inégalité de Markov est un prérequis pour cette inégalité

Cours 

Enoncé de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit X une variable aléatoire d’espérance \mathbb{E}(X) et de variance \sigma^2 . L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev s’écrit :

\forall \alpha >  0, \mathbb{P}(|X -\mathbb{E}(X)| \geq \alpha ) \leq \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}

Démonstration

Tout d’abord, on remarque que \{|X -\mathbb{E}(X)| \geq \alpha\} = \{(X -\mathbb{E}(X))^2 \geq \alpha^2 \} . On va donc appliquer l’inégalité de Markov à Y =(X -\mathbb{E}(X))^2, variable aléatoire positive avec \alpha^2 > 0 :

\mathbb{P}(Y\geq \alpha^2 ) \leq \dfrac{\mathbb{E}(Y)}{\alpha^2}

Or, \mathbb{E}(Y) =\mathbb{E}((X -\mathbb{E}(X)))^2 = \sigma^2. On a donc :

\begin{array}{ll}
&\mathbb{P}(Y\geq \alpha^2 ) \leq \dfrac{ \sigma^2}{\alpha^2}\\
\iff &\mathbb{P}((X -\mathbb{E}(X))^2\geq \alpha^2 ) \leq \dfrac{ \sigma^2}{\alpha^2}\\
\iff &\mathbb{P}(|X -\mathbb{E}(X)|\geq \alpha ) \leq \dfrac{ \sigma^2}{\alpha^2}\\

\end{array}

Ce qui est bien l’inégalité recherchée ! On a démontré le résultat voulu.

Exemple d’application 

La moyenne du nombre d’essais lors d’un match de rugby est de 7 avec une variance de 2. Majorer la probabilité que le match n’ait pas 6,7, ou 8 essais.

Pour cela, on pose X la variable aléatoire qui donne le nombre d’essais. On sait que \mathbb{E}(X) = 7 et que V(X) =2. On cherche à majorer la probabilité de |X-\mathbb{E}(X) |\geq 2. Ce qui fait que, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

\mathbb{P}(|X -\mathbb{E}(X)|\geq 2) \leq \dfrac{2}{2^2} = \dfrac{1}{2}

Exercices corrigés 

Exercice 1

Enoncé

Le nombre de pièces sortant d’une usine en une journée est une variable aléatoire d’espérance 100. On cherche à estimer la probabilité que la production de demain dépasse 150 pièces.

1. En utilisant l’inégalité de Markov, quelle estimation obtient-on sur cette probabilité
2. Que peut-on dire de plus sur cette probabilité si on sait que l’écart-type de la production quotidienne est 30 ?

Corrigé

Question 1 : On utilise l’inégalité de Markov avec X le nombre de pièces sortant de l’usine demain et \alpha = 150. On obtient :

\mathbb{P}(X\geq 150) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)}{150} = \dfrac{2}{3}

Question 1 : On utilise l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec les mêmes valeurs :

\mathbb{P}(|X-100|\geq 50) \leq \dfrac{V(X)}{50^2} = \dfrac{30}{50^2} = \dfrac{3}{250}

Or \{ |X-100|\geq 50)\}=\{X-100 \geq 50 \text{ et } X -100 \leq -50 \} . Or, le premier ensemble de ces deux ensembles s’écrit \{X \geq 150 \} . Donc \{X \geq 150 \} \subset \{ |X-100|\geq 50)\}. D’où

\mathbb{P}(X\geq 150)\leq\mathbb{P}(|X-100|\geq 50)\leq \dfrac{3}{250}

Ce qui est une bien meilleure majoration que précédemment.

Exercice 2

Enoncé 

On lance pendant tout une journée un dé équilibré chaque seconde, donc 86 400 fois. Minorer la probabilité que le nombre d’apparitions du numéro 1 soit compris entre 12 000 et 16 800.

Corrigé

Soit X la variable aléatoire du nombre d’apparitions de 1. X suit une loi binomiale de paramètres 86400,\dfrac{1}{6}. Son espérance vaut donc 86400 \times \dfrac{1}{6} = 14 400 et sa variance 86400 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} =12 000. On a donc, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

\mathbb{P}(|X -14400| \geq 2400)\leq \dfrac{12000}{2400^2} = \dfrac{1}{480}

La minoration recherchée est donc :

\mathbb{P}(|X -14400| < 2400)\geq 1- \dfrac{1}{480} = \dfrac{479}{480}\approx 99,8 \%

Exercice 3

Enoncé

Soit n \geq 1 un entier et X une variable aléatoire suivant la loi géométrique \mathcal{G} \left(\dfrac{1}{n}\right).

Démontrer que \mathbb{P}(|X-n | \geq n ) \leq 1 -\frac{1}{n} . En déduire que \mathbb{P}(X \geq 2n ) \leq 1 - \dfrac{1}{n}

Corrigé

Pour la loi géométrique, on a \mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{n} et V(X) = 1-\frac{1}{n} \times n^2= n^2 -n

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :

\mathbb{P}(|X-n | \geq n ) \leq \dfrac{V(X)}{n^2} = \dfrac{1-\frac{1}{n}}{n^2} \times n^2 =1- \dfrac{1}{n}

De plus,

\{|X-n| \geq n \}= \{X-n \geq n \text{ et } X-n \leq -n\}= \{X \geq 2n \text{ et } X \leq 0\}

On a donc :

 \{X \geq 2n\} \subset \{|X-n| \geq n \}

D’où

\mathbb{P}(X \geq 2n ) \leq\mathbb{P}(|X-n | \geq n ) \leq 1- \dfrac{1}{n}

Ce qui est bien le résultat recherché.