La notation vect : Cours et exercices corrigés

La notation vect est une notation très utile lorsqu’on travaille avec les espaces vectoriels en dimension finie. Mais elle peut être parfois être compliquée à comprendre au début et elle est beaucoup utilisée dans les cours, ce qui parfois peut mener à des incompréhensions.

Prérequis

• Espaces vectoriels
• Sous-espaces vectoriels
• Familles libres, familles génératrices et bases

Définition : La notation vect

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et (v_1, \ldots, v_k) des vecteurs de E. On définit le sous-espace engendré par (v_1, \ldots, v_k) noté \text{vect}(v_1, \ldots, v_k) par

\text{vect}(v_1, \ldots, v_k) = \{ x \in E, \exists (\lambda_1,\ldots, \lambda_k)  \in \mathbb K^k, x = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_k v_k \} 

Si \text{vect}(v_1, \ldots, v_k)= F , on dit que \text{vect}(v_1, \ldots, v_k) engendre F.

Propriétés du vect

On a les propriétés suivantes :

• \text{vect}(v_1, \ldots, v_k) est un sous-espace vectoriel de E
• v_1, \ldots, v_k est une famille génératrice de \text{vect}(v_1, \ldots, v_k)
• Si A \subset B alors \text{vect}(A) \subset \text{vect}(B)
• A\subset \text{vect}(A)
• \text{vect}(\text{vect}(A)) = \text{vect}(A)
• \forall x \in E, \forall \alpha \in \mathbb{K}, \text{vect}(\alpha x) =\text{vect}(x)
• Soit f une application linéaire, on a f(\text{vect}(v_1, \ldots, v_k))= \text{vect}(f(v_1), \ldots, f(v_k))
• Le fait de permuter les vecteurs à l’intérieur du vect ne modifie pas l’ensemble obtenu
• \text{vect}(A \cup B) = \text{vect}(A) + \text{vect}(B)
• \text{vect}(A) est le plus petit sous-espace vectoriel contenant A.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Dans \R^3, on considère x=(1,-1,1) et y = (0,1,a) où  a \in \R.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que u = (1,1,2) appartienne à \text{vect}(x,y). Comparer alors \text{vect}(x,y), \text{vect}(x,u) et \text{vect}(y,u)

Corrigé : On cherche \alpha, \beta tels que u = \alpha x + \beta y . Cela nous donne :

\begin{array}{ll}& \left\{ \begin{array}{ll}
\alpha+ 0 \times \beta & = 1 \\
-\alpha+ \beta & = 1 \\
\alpha+ \beta \times a& = 2 \\
\end{array}\right.\\
\iff &  \left\{ \begin{array}{ll}
\alpha & = 1 \\
 \beta & = 2 \\
1+ 2\times a& = 2 \\
\end{array}\right.\\
\iff &  \left\{ \begin{array}{ll}
\alpha & = 1 \\
 \beta & = 2 \\
 a& = \dfrac{2-1}{2} = \dfrac{1}{2} \\
\end{array}\right.
\end{array}

On doit donc nécessairement avoir a = \dfrac{1}{2} pour que cela fonctionne.

Dans ce cas, on a u = x+2y . On a : u \in \text{vect}(x,y) \Rightarrow \text{vect}(x,u) = \text{vect}(x,y). Or, y = \dfrac{1}{2}u - \dfrac{1}{2}x \in \text{vect}(x,u) donc \text{vect}(x,y ) \subset \text{vect}(x,u) .

D’où \text{vect}(x,y) = \text{vect}(x,u). De même, \text{vect}(x,y) = \text{vect}(y,u)

Exercice 2

Enoncé : La fonction f : x \mapsto \sin(2x) est-elle une combinaison linéaire de sin et cos ? Et la fonction g : x \mapsto \sin(x + 2) ?

Corrigé : D’après les formules de sinus et cosinus, on a \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) . Si on a 2 \sin(x) \cos(x) = \alpha \cos(x) + \beta \sin(x) , alors en prenant x = 0, on a 0 = \alpha , puis en prenant x = \dfrac{\pi}{2}, on a 0 = \beta et donc 2 \sin(x) \cos(x) = 0 contradiction.

Pour g , on a \sin(x+2) = \cos(2) \sin(x) + \sin(2) \cos(x) qui est bien une combinaison linéaire de sin et cos.

Exercice 3

Enoncé : Démontrer que \mathbb{K}^3 = \text{vect} \left( (1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1)\right)

Corrigé : On peut poser un système et chercher \alpha, \beta, \gamma tel que u = (x,y,z) = \alpha (1,0,0) + \beta(1,1,0) + \gamma(1,1,1) .

Sinon, on peut voir qu’on n’a pas le choix pour la dernière coordonnée. Puis une fois qu’elle est fixée, on n’a pas le choix pour la seconde puis pas le choix pour celle qui reste. Ce qui fait qu’on a :

\begin{array}{ll}
(x,y,z) & = (x-z,x-y, 0) + z (1,1,1) \\
& = (x-z- (x-y), 0, 0) + (x-y)(1,1,0) +(1,1,1) \\
& = (y-z)(1,0,0)+ (x-y)(1,1,0) +(1,1,1) \\
\end{array}

Ce qui permet de conclure car on a pris un vecteur arbitraire et on a pu l’écrire comme une combinaison linéaire des 3 vecteurs.