La loi de Pareto est une des lois les plus connues car elle intervient dans plusieurs théories économiques et physiques. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !
Définition
La loi de Pareto dépend de 2 paramètres : k et x_m . Son univers est \Omega = [x_m , + \infty]
On appelle souvent cette loi, la loi du 80-20, qui correspond en sciences sociales à 20% des efforts pour 80 % du résultat. Par exemple, approximativement :
- 80% de la richesse est concentrée parmi 20% de la population.
- 80% des réclamations proviennent de 20% des clients.
Densité de probabilité
La densité de probabilité d’un loi de Pareto de paramètre (k,x_m) est
\forall x \geq x_m, f_X(x) = k \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}}
et est donc nulle dès lors que x < x_m .
Fonction de répartition
Pour définir la fonction de répartition de la loi de Pareto, c’est assez simple, en intégrant la densité, on obtient :
\forall x \geq x_m, F_X(x) = 1 - \left( \dfrac{x_m}{x} \right)^n
Espérance de la loi de Pareto
L’espérance de la loi de Pareto de paramètre (k,x_m) :
- Est infinie si k \leq 1
- Sinon, elle vaut \dfrac{kx_m}{k-1}
Démonstration :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(X) &=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} xk \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}} dx\\ &=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} k \dfrac{x_m^k}{x^{k}} dx\\ &= \left[-k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x^{k-1}}\right]_{x_m}^{+\infty}\\ &= k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x_m^{k-1}}\\ &= \dfrac{kx_m}{(k-1)}\\ \end{array}
Ce qui est bien la valeur recherchée
Variance de la loi de Pareto
La variance de la loi de Pareto :
- Est infinie si k \leq 2
- Vaut \left( \dfrac{x_m}{k-1}\right)^2 \dfrac{k}{k-2}
Démonstration :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(X^2) & =\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} x^2k \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}} dx\\ &=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} k \dfrac{x_m^k}{x^{k-1}} dx\\ &= \left[-k \dfrac{x_m^k}{(k-2)x^{k-2}}\right]_{x_m}^{+\infty}\\ &= k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x_m^{k-2}}\\ &= \dfrac{kx_m^2}{(k-2)}\\ \end{array}
On a alors
\begin{array}{ll} V(X) &= \mathbb{E}(X^2 ) - \mathbb{E}(X)^2\\ &= \dfrac{kx_m^2}{(k-2)} -\left( \dfrac{kx_m}{k-1}\right)^2\\ &= \dfrac{kx_m^2(k-1)^2-k^2x_m^2(k-2)}{(k-1)^2(k-2)} \\ &= \dfrac{kx_m^2((k-1)^2-k(k-2))}{(k-1)^2(k-2)} \\ &= \dfrac{kx_m^2}{(k-1)^2(k-2)} \\ \end{array}
Ce qui est bien la valeur recherchée