Loi de Pareto : Cours

Tout savoir sur la loi de Pareto : Définition et propriétés
Loi de Pareto

La loi de Pareto est une des lois les plus connues car elle intervient dans plusieurs théories économiques et physiques. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Définition

La loi de Pareto dépend de 2 paramètres : k et x_m . Son univers est \Omega = [x_m , + \infty]

On appelle souvent cette loi, la loi du 80-20, qui correspond en sciences sociales à 20% des efforts pour 80 % du résultat. Par exemple, approximativement :

  • 80% de la richesse est concentrée parmi 20% de la population.
  • 80% des réclamations proviennent de 20% des clients.

Densité de probabilité

La densité de probabilité d’un loi de Pareto de paramètre (k,x_m) est

\forall x \geq x_m, f_X(x) = k \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}} 

et est donc nulle dès lors que x < x_m .

Fonction de répartition

Pour définir la fonction de répartition de la loi de Pareto, c’est assez simple, en intégrant la densité, on obtient :

\forall x \geq x_m, F_X(x) =  1 - \left( \dfrac{x_m}{x} \right)^n

Espérance de la loi de Pareto

L’espérance de la loi de Pareto de paramètre (k,x_m) :

  • Est infinie si k \leq 1
  • Sinon, elle vaut \dfrac{kx_m}{k-1}

Démonstration :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X) &=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} xk \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}} dx\\
&=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} k \dfrac{x_m^k}{x^{k}} dx\\
&= \left[-k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x^{k-1}}\right]_{x_m}^{+\infty}\\
&= k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x_m^{k-1}}\\
&=  \dfrac{kx_m}{(k-1)}\\
\end{array}

Ce qui est bien la valeur recherchée

Variance de la loi de Pareto

La variance de la loi de Pareto :

  • Est infinie si k \leq 2
  • Vaut \left( \dfrac{x_m}{k-1}\right)^2 \dfrac{k}{k-2}

Démonstration :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) & =\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} x^2k \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}} dx\\
&=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} k \dfrac{x_m^k}{x^{k-1}} dx\\
&= \left[-k \dfrac{x_m^k}{(k-2)x^{k-2}}\right]_{x_m}^{+\infty}\\
&= k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x_m^{k-2}}\\
&=  \dfrac{kx_m^2}{(k-2)}\\
\end{array}

On a alors

\begin{array}{ll}
V(X) &= \mathbb{E}(X^2 ) - \mathbb{E}(X)^2\\
 &= \dfrac{kx_m^2}{(k-2)} -\left( \dfrac{kx_m}{k-1}\right)^2\\
 &= \dfrac{kx_m^2(k-1)^2-k^2x_m^2(k-2)}{(k-1)^2(k-2)} \\
 &= \dfrac{kx_m^2((k-1)^2-k(k-2))}{(k-1)^2(k-2)} \\
 &= \dfrac{kx_m^2}{(k-1)^2(k-2)} \\
\end{array}

Ce qui est bien la valeur recherchée

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