Loi de Pareto : Cours

La loi de Pareto est une des lois les plus connues car elle intervient dans plusieurs théories économiques et physiques. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Définition

La loi de Pareto dépend de 2 paramètres : k et x_m . Son univers est \Omega = [x_m , + \infty]

On appelle souvent cette loi, la loi du 80-20, qui correspond en sciences sociales à 20% des efforts pour 80 % du résultat. Par exemple, approximativement :

• 80% de la richesse est concentrée parmi 20% de la population.
• 80% des réclamations proviennent de 20% des clients.

Densité de probabilité

La densité de probabilité d’un loi de Pareto de paramètre (k,x_m) est

\forall x \geq x_m, f_X(x) = k \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}} 

et est donc nulle dès lors que x < x_m .

Fonction de répartition

Pour définir la fonction de répartition de la loi de Pareto, c’est assez simple, en intégrant la densité, on obtient :

\forall x \geq x_m, F_X(x) =  1 - \left( \dfrac{x_m}{x} \right)^n

Espérance de la loi de Pareto

L’espérance de la loi de Pareto de paramètre (k,x_m) :

• Est infinie si k \leq 1
• Sinon, elle vaut \dfrac{kx_m}{k-1}

Démonstration :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X) &=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} xk \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}} dx\\
&=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} k \dfrac{x_m^k}{x^{k}} dx\\
&= \left[-k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x^{k-1}}\right]_{x_m}^{+\infty}\\
&= k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x_m^{k-1}}\\
&=  \dfrac{kx_m}{(k-1)}\\
\end{array}

Ce qui est bien la valeur recherchée

Variance de la loi de Pareto

La variance de la loi de Pareto :

• Est infinie si k \leq 2
• Vaut \left( \dfrac{x_m}{k-1}\right)^2 \dfrac{k}{k-2}

Démonstration :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) & =\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} x^2k \dfrac{x_m^k}{x^{k+1}} dx\\
&=\displaystyle \int_{x_m}^{+\infty} k \dfrac{x_m^k}{x^{k-1}} dx\\
&= \left[-k \dfrac{x_m^k}{(k-2)x^{k-2}}\right]_{x_m}^{+\infty}\\
&= k \dfrac{x_m^k}{(k-1)x_m^{k-2}}\\
&=  \dfrac{kx_m^2}{(k-2)}\\
\end{array}

On a alors

\begin{array}{ll}
V(X) &= \mathbb{E}(X^2 ) - \mathbb{E}(X)^2\\
 &= \dfrac{kx_m^2}{(k-2)} -\left( \dfrac{kx_m}{k-1}\right)^2\\
 &= \dfrac{kx_m^2(k-1)^2-k^2x_m^2(k-2)}{(k-1)^2(k-2)} \\
 &= \dfrac{kx_m^2((k-1)^2-k(k-2))}{(k-1)^2(k-2)} \\
 &= \dfrac{kx_m^2}{(k-1)^2(k-2)} \\
\end{array}

Ce qui est bien la valeur recherchée