Le but de cet article et de quelques autres est de démontrer la réduction de Frobenius d’un endomorphisme, une occasion de discuter d’algèbre linéaire et sert d’exemple simple à plusieurs notions évoluées des cours d’algèbre élémentaire. Tous les articles de cette série sont réunis ici. Ce troisième article démontre l’existence et unicité du théorème, et illustre sur exemple la réduction.
Prérequis
Énoncé du Théorème
Soit u\in L(V), il existe une suite de vecteurs v_1, v_2, \dots, v_r \in V vérifiant les propriétés suivantes,
V = \mathbb K[u](v_1) \oplus \mathbb K[u](v_2) \oplus \dots \oplus \mathbb K[u](v_r),
- Les endomorphismes induits par u sur \mathbb K[u](v_i) sont cycliques de polynôme minimal \mu_{v_i}.
- \mu_{v_{i+1}} \text{ divise } \mu_{v_i}
- La suite des polynômes \mu_{v_1},\mu_{v_2},\dots,\mu_{v_r} est unique et caractérise la classe de similitude de u.
Ces polynômes sont appelés les invariants de similitude de u. Deux endomorphismes sont semblables si et seulement si ils partagent les mêmes invariants de similitude.
Démonstration
La démonstration utilise une récurrence sur la dimension de l’espace. Le lemme “polynôme minimal atteint” de Cyclicité (2) nous permet de trouver v_1\in V tel que \mu_{v_1} = \mu_u. En suivant la proposition “supplémentaire stable”, prenons F un supplémentaire de \mathbb K[u](v), stable par u. Par hypothèse de récurrence, on montre l’existence de la somme directe,
F = \mathbb K[u](v_2) \oplus \mathbb K[u](v_3)\oplus \dots \oplus \mathbb K[u](v_r).
Les polynômes \mu_{v_i} pour i \in \llbracket 2, r \rrbracket vérifient les conditions de l’énoncé par récurrence, aussi, \mu_u(u)(v_2) = 0 \Rightarrow \mu_{v_2} | \mu_u = \mu_{v_1}. La réduction est valide,
\begin{align*}
V & = \mathbb K[u](v_1) \oplus F \\
& = \mathbb K[u](v_1) \oplus \mathbb K[u](v_2) \oplus \dots \oplus \mathbb K[u](v_r).
\end{align*}Le point le plus important du théorème, et de montrer l’unicité de la suite de polynôme. Considérons,
\begin{align*}
V & = \mathbb K[u](v_1) \oplus \mathbb K[u](v_2) \oplus \dots \oplus \mathbb K[u](v_r) \\
& =\mathbb K[u](v'_1) \oplus \mathbb K[u](v'_2) \oplus \dots \oplus \mathbb K[u](v'_s)
\end{align*}
Il s’agit de montrer que r=s et pour tout i, \mu_{v_i} = \mu_{v'i}. Supposons que ce ne soit pas le cas, et que soudainement, pour j \leq \min(r,s), on constate que \mu_{v_j} \ne \mu_{v'_j}.
Lorsque i \geq j, \mu_{v_i} divise \mu_{v_j} donc,
\mu_{v_j}(u)(v_i) = 0.On a encore mieux, \mu_{v_j}(u)(K[u](v_i)) = \big\{ 0 \big\}. Ce qui se reformule également par, \mu_{v_j}(u)_{|K[u](v_i)} = 0 \in L(K[u](v_i)).
Nous n’avons aucune raison de ne pas appliquer cette remarque à l’espace total, ce que nous allons faire,
\begin{align*}
\mu_{v_j}(u)(V) & = \mu_{v_j}(u)( \bigoplus\limits_{i=1}^r \mathbb K[u](v_i))\\
& = \bigoplus\limits_{i=1}^r \mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v_i))\\
& = \bigoplus\limits_{i=1}^{j-1} \mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v_i));\\
\end{align*}En même temps, nous pouvons aussi appliquer l’autre décomposition:
\begin{align*}
\mu_{v_j}(u)(V) & = \mu_{v_j}(u)( \bigoplus\limits_{i=1}^{\boxed{s}} \mathbb K[u](\boxed{v'_i}))\\
& = \bigoplus\limits_{i=1}^s \mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_i)).\\
\end{align*}L’étape suivante est bien entendu de réunir et comparer les deux égalités précédentes:
\begin{align*}
\bigoplus\limits_{i=1}^{j-1} \mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v_i)) & = \bigoplus\limits_{i=1}^s \mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_i)).
\end{align*}Puis, en passant au calcul des dimensions, on déduit que:
\begin{align*}
\sum\limits_{i=1}^{j-1} \dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v_i))) & = \sum\limits_{i=1}^s \dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_i))).
\end{align*}
Dans le cas où i < j,
\begin{align*}
\mu_{v_i} & = \mu_{v'_i}\\
\Rightarrow \dim(u (\mathbb K[u](v_i))) & = \dim(u (\mathbb K[u](v'_i))).\\
\end{align*}Plus largement
\begin{align*}
\dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v_i))) & = \dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_i))),\\
\text{donc}\\
\sum\limits_{i=1}^s \dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_i)))
& = \sum\limits_{i=1}^{j-1} \dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v_i))) \\
& = \sum\limits_{i=1}^{j-1} \dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_i))). \\
\end{align*}On introduit la remarque dans le calcul précédent
\begin{align*}
\sum\limits_{i \geq j}^s \dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_i))) & = 0,
\text{plus spécifiquement} \\
\dim(\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_j))) & = 0 \\
\text{et }\\
\mu_{v_j}(u)(\mathbb K[u](v'_j)) & = 0 \in L(\mathbb K[u](v'_j)).\\
\end{align*}
Par définition \mu_{v'_j} divise \mu_{v_j}.
Symétriquement on peut montrer que \mu_{v_j} divise \mu_{v_j'}, d’où égalité et contradiction. Depuis le début, les deux suites de polynômes étaient les mêmes.
Exemple
Finissons par un exemple, choisissons l’endomorphisme de \mathbb K^{11} dont la matrice est :
\begin{align*} M & = \left(\begin{array}{rrrrrrrrrrr} 1 & & & & & & & & & & \\ 0 & 2 & & & & & & & & & \\ 0 & 0 & 3 & & & & & & & & \\ 2 & 0 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & & & & & & \\ 3 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & & & \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \end{align*}La matrice est triangulaire inférieure de polynôme caractéristique
\chi_M = (X-1)^4(X-2)^4(X-3)^3.
Quelques calculs permettent de montrer que,
\mu_M = (X - 1)^4(X - 2)^2(X - 3)^2.
Il s’agit de trouver une base de vecteur réunion de \mathcal B_v. Regardons déjà ce que donne la base canonique.
\begin{align*} \begin{array}{cccc} e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, & Me_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, & M^2 e_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \\ 12 \\ 0 \\ 0 \\ 20 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, & M^3e_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \\ 27 \\ 0 \\ 0 \\ 72 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}. \end{array} \end{align*}L’espace recouvert par \mathcal B_{e_1} est celui engendré par e_1, e_4,e_6,e_9, on peut vérifier que \mu_{e_1} = (X-1)^4 .
Les vecteurs e_{10}, e_2 et e_3 sont des vecteurs propre de valeur respective 1,2 et 3.
Pour finir, \mathcal B_{e_5} et \mathcal B_{e_8},
\begin{align*} \begin{array}{cccc} e_5 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, & Me_5 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix},& e_8 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix},& M e_8 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ \end{pmatrix}, \end{array} \end{align*}avec \mu_{e_5} = (X-2)^2 et \mu_{e_8} = (X - 3)^2.
Nous n’avons pas encore de suite de divisions entre les différents polynômes minimaux, résumons la situation :
\begin{align*} \mu_{e_1} & = (X-1)^4,\\ \mu_{e_2} = \mu_{e_{10}} = (X-2) \ | \ \mu_{e_5} & = (X-2)^2, \\ \mu_{e_3} = (X-3) \ | \ \mu_{e_8} & = (X-3)^2 .\\ \end{align*}Nous faisons le choix de poser les vecteurs suivants :
\begin{align*} v_1 = e_{10},\ v_2 = e_2 + e_3,\ v_3 = e_1 + e_5 + e_8.\ \end{align*}La propriété somme de polynômes minimaux permet de dire que le choix des vecteurs suivants donne bien les relations de divisibilité souhaitées, \mu_{v_1} \ | \ \mu_{v_2} \ | \ \mu_{v_3} = \mu_M. C’est dans cette base que M prend la forme réduite de Frobenius,
\begin{align*} M \sim \begin{pmatrix} \boxed{2}&&\\ &\boxed{\begin{array}{rr} & -6 \\ 1 & 5 \end{array}}&\\ &&\boxed{\begin{array}{rrrrrrrr} & & & & & & & -36 \\ 1 & & & & & & & 24 \\ & 1 & & & & & & -493 \\ & & 1 & & & & & 662 \\ & & & 1 & & & & -539 \\ & & & & 1 & & & 272 \\ & & & & & 1 & & -83 \\ & & & & & & 1 & 14 \end{array}} \end{pmatrix}. \end{align*}
