Cet article a pour but de présenter les formules des développements en séries entières, usuels comme atypiques. Nous allons essayer d’être exhaustifs pour cette fiche-mémoire

Les développements en série entière issus de l’exponentielle

Commençons par les fonctions issues de l’exponentielle : exponentielle, cosinus, sinus et cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. Leur rayon de convergence est +∞ pour chacun d’entre elles

 \begin{array}{rcl}
e^x & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}\\
\cos(x) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\\
\sin(x) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\text{ch}(x) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\\
\text{sh}(x) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
   \end{array}

Les puissances de 1 + x ou 1 – x

Voici les développements en série entière des fonctions qui sont une puissance de 1+x ou 1-x, telles que la racine ou l’inverse. Leur rayon de convergence est 1

 \begin{array}{rcl}
\alpha \in \mathbb{R},(1+x)^\alpha & = &1+\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\alpha(\alpha-1)\ldots (\alpha-(n-1))}{n!}x^n\\
\dfrac{1}{1-x} & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n\\
\dfrac{1}{1+x} & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^n\\
\dfrac{1}{(1-x)^2} & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)x^n\\
\sqrt{1+x} & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n-1}\dfrac{1\times 3\times \ldots \times (2n-3)}{2\times 4 \times \ldots \times (2n) }x^n \\
\end{array}

Développement en série entière du logarithme

Voici la formule pour le développement en série entière du logarithme. Son rayon de convergence est égal à 1

 \begin{array}{rcl}
\ln (1-x) & = & \displaystyle -\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n}\\
\ln (1+x) & = & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}
\end{array}

Arcsin, Arccos, Arctan, Argch, Argsh, Argth

Voici les développements en série entière des fonctions réciproques de cos, sin, tan, sh et th. Le rayon de convergence de ces fonctions est de 1.

 \begin{array}{rcl}
\arccos x & = & \displaystyle \dfrac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1 \times 3 \times \ldots \times(2n-1)}{2 \times 2 \times \ldots \times(2n)}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\\
\arcsin x & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1 \times 3 \times \ldots \times(2n-1)}{2 \times 2 \times \ldots \times(2n)}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\\
\arctan x & = &\displaystyle  \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\\
\text{argsh } x & = &  \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{1 \times 3 \times \ldots \times(2n-1)}{2 \times 2 \times \ldots \times(2n)}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\\
\text{argth } x & = &\displaystyle  \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}\\
\end{array}

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2 Comments

  1. Bonjour, il me semble qu’il y a une erreur dans le dev. en serie entière de (1+x)^a, l’indice de sommation doit commencer à n=1 si vous sortez le terme en n=0 (1)
    Bonne journée

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