Permutations en combinatoire : Cours et exercices corrigés

Qu’est-ce qu’une permutation ? Découvrez cette notion utile en dénombrement

9 janvier 2023

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Les permutations font partie des essentiels lorsqu’on fait du dénombrement et des probabilités. Dans cet article, nous allons vous présenter ce qu’est une permutation et vous montrer des exemples et exercices corrigés pour bien comprendre cette notion.

Table des matières

Prérequis

Les factorielles

Définition d’une permutation

Très concrètement, une permutation est un réarrangement d’objets qu’on peut distinguer, c’est-à-dire que l’on va changer leur ordre.

D’un point de vue mathématique, la définition est la suivante. On prend un ensemble X. Une permutation sur X est une bijection de X sur lui-même.

Si X est fini, le cardinal du nombre de permutations est $n!$ .

L’ensemble des permutations sur un ensemble X est un groupe.

Des permutations à connaitre

On appelle identité la permutation qui envoie chaque élément sur lui-même
Une transposition est une permutation qui échange 2 et seulement 2 éléments
La permutation circulaire : On note $(a_1, \ldots, a_n)$ les n éléments de l’ensemble. Une permutation circulaire sur cet ensemble est l’application $\sigma$ telle que $\forall k < n, \sigma(a_k) = a_{k+1}, \sigma(a_n) = a_1$

Exemples

On a :

Si on prend l’ensemble $\{0,1,2,3\}$ , on a $4! = 24$ permutations
Si on prend 5 billes dans un sac, qui sont de 5 couleurs différentes et qu’on les tire, on aura alors on aura $5! = 120$ possibilités différentes de les tirer

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Soit un système de 3 équations à 3 inconnus. On sait que les solutions sont 1, 2 et 6. Combien de triplets sont potentiellement solutions de cette équation ?

Corrigé : Les solutions possibles sont $(1,3,5),(1,5,3),(3,1,5),(3,5,1),(5,1,3),(5,3,1)$ . On a donc $3! = 6$ solutions possibles.

Exercice 2

Enoncé : Dans une course de Formule 1, il y a 20 pilotes. Combien de classements sont possibles ?

Corrigé : Comme l’ordre est important et qu’un seul pilote va prendre une et unique place , il s’agit d’une permutation. On a donc $20!$ classements possibles.