C’est l’une des lois de probabilités les plus simples, la loi de Bernoulli est un essentiel à connaitre quand on débute en probabilités !
Définition
La loi de Bernoulli de paramètre p désigne une loi de probabilité discrète qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité 1-p. Elle est donc définie sur l’univers Ω = {0,1}.
Très concrètement, vous lancez une pièce (déséquilibrée) qui a une probabilité p de faire face, qu’on notera 1 et 0 de faire pile. Alors le fait de faire face suit une loi de Bernoulli.
Une situation vraie / faux pouvant se modéliser par une loi de Bernoulli est appelée épreuve de Bernoulli
La loi de Bernoulli de paramètre p est notée B(p)
Propriétés
Espérance de la loi de Bernoulli
L’espérance de la loi de Bernoulli vaut p. Elle est très facile à démontrer. Soit X une variable aléatoire
\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X) &= \mathbb{P}(X=0) \times 0+ \mathbb{P}(X=1) \times 1 \\
&= (1-p) \times 0 + 1 \times p \\
&= p
\end{array}Variance de la loi de Bernoulli
La variance de la loi de Bernoulli vaut p(1-p). Elle est très plutôt facile à démontrer. Soit X une variable aléatoire, on a :
\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2 ) & = \mathbb{P}(X=0) \times 0^2+ \mathbb{P}(X=1) \times 1^2 \\
&= (1-p) \times 0 + 1 \times p \\
&= p
\end{array}On a ensuite :
\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) &= \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2 \\
&= p - p^2 \\
&= p(1-p)
\end{array}Le cours en vidéo
Pour ceux qui le désirent, voici le cours en vidéo :
Exercices corrigés de loi de Bernoulli
Ces exercices sont corrigés en vidéo à ce lien
Exercice 1
Enoncé : On dispose d’un jeu de 52 cartes. Déterminer la probabilité de tirage des évènements suivants :
- La carte un carreau
- La carte est un roi
- La carte est une figure
Question 1 :
On note X la variable aléatoire qui vaut 1 si on a un carreau et 0 sinon. On a 4 couleurs différentes. La probabilité de cette épreuve de Bernoulli est donc de
\mathbb{P}(X=1)=\dfrac{1}{4}Question 2 :
On a 13 valeurs différentes sur les cartes : as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi. On a donc une probabilité de
\dfrac{1}{13}d’avoir un roi.
Question 3 :
On a 3 figures possibles parmi les différentes valeurs disponibles sur une carte. On a donc une probabilité de
\dfrac{3}{13}d’avoir une tête.
Exercice 2
Enoncé : Soit une urne contenant 5 boules rouges et 6 boules blanches. Soit l’épreuve de Bernoulli “on tire une boule de l’urne”. Cette épreuve sera un succès si la boule tirée est blanche. Quelle est la probabilité que l’épreuve échoue ?
Corrigé : L’épreuve échoue si on tire une boule rouge. On a 5 boules rouges et en tout 11 boules. La probabilité que l’épreuve échoue est donc de
\dfrac{5}{11}Exercice 3
Enoncé : Soit une épreuve de Bernoulli de paramètre
p = \dfrac{1}{4}Calculer son espérance et sa variance
Corrigé :
Son espérance vaut p. Donc son espérance vaut
\dfrac{1}{4}On a :
1-p= \dfrac{3}{4}On peut donc calculer la variance :
\mathbb{V}(X) = p(1-p) = \dfrac{1}{4}\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{16}Enoncés d’exercices
Exercice 1
Pour chacune des épreuves suivantes, indiquer s’il s’agit d’une épreuve de Bernoulli et préciser le succès et sa probabilité le cas échéant.
- On tire une dame de coeur
- On regarde la couleur de la carte
- On vérifie si la valeur est comprise entre 5 et 10 (inclus)
- On vérifie que la couleur de la carte est rouge
Exercice 2
Soit une urne contenant 8 boules bleues et 12 boules vertes. Soit l’épreuve de Bernoulli “on tire une boule de l’urne”. Cette épreuve sera un succès si la boule tirée est bleue. Quelle est la probabilité que l’épreuve échoue ?
Exercice 3
Un avion possède deux moteurs identiques. La probabilité que chacun tombe en panne est 0,005. On suppose que la panne d’un moteur n’a aucune influence sur la panne de l’autre moteur. Calculer la probabilité que l’avion tombe en panne à l’aide d’un arbre pondéré.
Exercice 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Sachant que la variance de X vaut
\dfrac{6}{25}Calculer les valeurs possibles de p.
Exercice 5
Jean-Claude possède quatre cartes de fidélité de magasins distincts dans sa poche. Ces cinq cartes ont toutes le même format et sont évidemment indiscernables au toucher.
Au moment du passage en caisse dans un de ces magasins, il choisit au hasard une carte de fidélité. Justifier que cette expérience aléatoire correspond bien à une épreuve de Bernoulli en précisant le succès et la probabilité de celui‑ci.
