Petit tour d’horizon sur l’anagramme : comment le définir, comment les compter, quelle est leur histoire ? En lisant cet article vous saurez tout sur les anagrammes
Définition d’un anagramme
La définition est assez simple. Un anagramme est un mot obtenu en transposant les lettres d’un autre mot. Par exemple, Pablo Picasso est un anagramme de Pascal Obispo. En effet, les deux mots contiennent 2 p, 2a, 2o, 2s, 1b et 1c. Ou un autre exemple si on a lu Harry Potter : Tom Elvis Jedusor est un anagramme de Je suis Voldemort. Et anagramme a aussi un anagramme : Gare maman.
Maths et anagramme, quel est le lien ?
Une question qu’on peut se poser est : combien d’anagrammes a-t-on pour un mot donné ? Anagrammes n’ayant pas forcément un sens en tant que mot.
Quelques exemples d’anagramme
Le mot fourmi
Déterminons le nombre d’anagramme du mot fourmi. C’est assez simple :
Où placer la lettre f ? On a 6 choix possibles.
Ensuite, pour placer la lettre o, on a 5 choix possibles, le f déjà placé restreignant le choix. Ce qui fait qu’on maintenant 4 places pour la lettre u.
Puis 3 pour r, 2 pour m. La lettre i prendra ensuite la dernière place.
On a donc 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720 choix. Le mot fourmi a donc 720 anagrammes.
Si vous n’êtes pas familiers avec les factorielles (le !) allez d’abord voir notre article sur les factorielles
Le seul anagramme de fourmi ayant un sens en français est fumoir.
Le mot banane
Commençons par placer les n : On a 2 choix parmi 6 emplacements possibles.
On a donc en choix possibles :
\begin{pmatrix}
6\\
2
\end{pmatrix} = \frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{4\times 5}{2}= 10
Viennent ensuite les a : Il reste 4 emplacements, on a 2 a. On a donc, comme au-dessus en nombre de choix :
\begin{pmatrix}
4\\
2
\end{pmatrix} = \frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{3\times 4}{2}= 6Puis pour le b, on a 2 choix. Et on prend finalement la dernière place pour le e.
Finalement, on a en tout :
\begin{pmatrix}
6\\
2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
4\\
2
\end{pmatrix} \times 2 \times 1 = \frac{6!}{4!2!}\frac{4!}{2!2!} \times 2 \times 1 = \frac{6!}{2!2!} = 180
Autant de lettres mais moins de mots. La dernière expression avec les factorielles est importante. Elle va nous aider à établir la formule générale.
Le mot anagramme
On ne pouvait évidemment pas passer à côté de se demander combien d’anagrammes comporte le mot anagramme ! Donc pour reprendre la même idée que le mot banane, on voit que ce mot possède 3 a, 2m, 1n, 1g, 1r, 1e.
Commençons par les a, on a 3 choix parmi 9 possibles :
\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} = \frac{9!}{6!3!}=\frac{7\times8\times9}{3!}=84
Pour le m, 2 choix parmi les 6 cases restantes :
\begin{pmatrix} 6 \\2 \end{pmatrix} =\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{4\times5}{2}=10
Puis, je pense que vous l’avez compris : 4 choix pour le n, 3 pour le g, 2 pour le r puis 1 pour le e.
Ce qui nous donne le résultat suivant :
\begin{array}{l}
\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\\\
= \dfrac{9!}{6!3!}\dfrac{6!}{4!2!}\times4 \times 3\times 2 \times 1 \\\\
=\dfrac{9!}{3!4!2!}\times4 \times 3\times 2 \times 1 \\\\
= \dfrac{9!}{3!4!2!}\times4! \\\\
= \dfrac{9!}{3!2!}= 30240
\end{array}
Ce qui donne beaucoup d’anagrammes.
Formule générale
Essayons maintenant d’établir une formule générale. Combien un mot de n lettres en général possède-t-il d’anagrammes ?
Un mot en général possède nA lettres a, nB lettres b, …, nZ lettres z. Avec la plupart des lettres qui sont en quantité nulle.
Maintenant raisonnons :
Pour la lettre a, on a n emplacements possibles. On va donc avoir
\binom{n}{n_A}choix possibles. Et ça marche même si nA est nul, tout simplement parce que
\binom{n}{0}=1Passons maintenant à b, on a maintenant n – nA emplacement possibles. Ce qui donne
\binom{n-n_A}{n_B}choix possibles.
Faisons aussi c. Il reste n – nA – nB emplacement. On va donc avoir comme choix :
\binom{n-n_A-n_B}{n_C}Cela va donc nous donner la formule suivante :
\binom{n}{n_A}\binom{n-n_A}{n_B}\binom{n-n_A-n_B}{n_C}\ldots\binom{n-n_A-n_B-\ldots-n_Y}{n_Z}Simplifions maintenant cette formule :
\begin{array}{l}= \dfrac{n!}{(n-n_A)!}\dfrac{(n-n_A)!}{n_B!(n-n_A-n_B)!}\dfrac{(n-n_A-n_B)!}{n_C!(n-n_A-n_C)!}\ldots \dfrac{(n-n_A-n_B-\ldots-n_Y)!}{n_Z!(n-n_A-\ldots-n_Z)!}\\ \\
= \dfrac{n!}{n_A!n_B!n_C! \ldots n_Z!}\end{array}Ce qui est quand même plus sympa après simplification !
D’autres faits sur les anagrammes ?
Tricher au Scrabble
Anagrammeur est un site qui permet de trouver les anagrammes ayant un sens d’un mot donné. Il donne aussi des sous-résultats, si on met un mot de 5 lettres, il va donner les résultats à 4 lettres et 3 lettres.
Exemple en tapant chien :
Plutôt utile pour jouer au scrabble non ? 1mot.net permet aussi cela. Une vraie aide à la triche pour ce jeu.
Un peu d’histoire
D’autres le racontent mieux que moi. Petites histoires des sciences expliquera mieux que moi comment Galilée cachait ses découvertes dans des anagrammes. Galilée envoya à Kepler “Smaismrmilmepoetalevmibu nenugttaviras” qui était en fait l’anagramme de Salve umbistineum geminatum Martia proles. Ce qui signifie, si vous n’êtes pas bilingues en Latin : “Salut, double protection du bouclier, engeance de Mars” . Kepler crut alors comprendre qui Galilée avait découvert deux satellites de la planète Mars.
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