La fonction indicatrice : Cours et exercice corrigé

Dans cet article nous allons vous présenter la fonction indicatrice ainsi qu’un exercice corrigé permettant de manipuler cette fonction.

Définition de la fonction indicatrice

On appelle fonction indicatrice ou fonction caractéristique une fonction définie sur un ensemble E tel que : soit F un sous-ensemble de E. La fonction indicatrice 1_F est définie par :

1_F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ si } x\in F\\
0& \text{ si } x \notin F \end{array}\right.

On préfère le nom de fonction indicatrice pour ne pas confondre avec la fonction caractéristique en probabilité. C’est principalement une notation pratique qui permet de simplifier la manière d’écrire certains calculs.

Fonction de heaviside

C’est un cas particulier de fonction indicatrice. On la définit comme H(x) = 1_{\R_+}(x) . On peut noter ceci comme : H(x) = 1_{x\geq 0 }(x) qui est une notation usuelle.

Variante : On peut choisir H(0) = \dfrac{1}{2}

Exemples

Au lieu de définir la densité de la loi exponentielle en probabilités comme

d(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0& \text{ si } x<0\\
\dfrac{1}{\lambda} e^{- \lambda x}& \text{ si } x \geq 0 \end{array}\right. 

On la définit comme d(x) = 1_{\R_+}(x) \dfrac{1}{\lambda} e^{- \lambda x}

Autre exemple : au lieu de définir la valeur absolue comme

|x| = \left\{ \begin{array}{ll} -x& \text{ si } x<0\\
 x& \text{ si } x \geq 0 \end{array}\right.

On peut la définir comme |x| = -x 1_{\R_-^*}(x) + x 1_{\R_+^*}(x) = x(1_{\R_+^*}(x)-1_{\R_-^*}(x)). Pour le coup, c’est une notation condensée mais qui n’aide pas à la compréhension.

Exercice corrigé

Enoncé

Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de A. De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions indicatrices / caractéristiques ?

1. \min(1_A,1_B)
2. \max(1_A,1_B)
3. 1_A.1_B
4. 1-1_A
5. 1_A+1_B-1_A1_B
6. (1_A-1_B)^2

Corrigé

Soit x un élement de E

1. \min(1_A(x),1_B(x)) = 1 \iff 1_A(x) = 1_B(x) = 1 \iff x\in A, x\in B \iff x \in A \cap B. Donc \min(1_A,1_B) = 1_{A\cap B}
2. \max(1_A(x),1_B(x)) = 1 \iff 1_A(x) = 1 \text{ ou } 1_B(x) = 1 \iff x\in A \text{ ou } x\in B \iff x \in A \cup B. Donc \max(1_A,1_B) = 1_{A\cup B}
3. 1_A(x).1_B(x) = 1 \iff 1_A(x) = 1_B(x) = 1 \iff x\in A, x\in B \iff x \in A \cap B. Donc 1_A.1_B = 1_{A\cap B}
4. 1-1_A(x) = 1 \iff 1_A(x) =0 \iff x\notin A \iff x \in {}^CA . Donc 1-1_A = 1_{{}^CA}
5. 1_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x) = 1 \iff 1_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x) -1=0 \iff (1-1_A(x))(1_B(x) -1)=0 \iff 1_A(x) = 1 \text{ ou } 1_B(x) = 1 \iff x \in A \text{ ou } x \in B \iff x \in A \cup B . Donc 1_A+1_B-1_A1_B=1_{A \cup B}
6. (1_A(x) -1_B(x))^2 = 1 \iff 1_A(x) -1_B(x) =1 \text{ ou } 1_A(x) -1_B(x) = -1 \iff x \in A, x\notin B \text{ ou } x \notin A, x \in B \iff x \in A\Delta B. En effet, si 1_A(x) -1_B(x) = 1 alors nécessairement 1_A(x) = 1 et 1_B(x) = 0 . Conclusion : (1_A -1_B)^2 = 1_{A\Delta B} (ce qu’on appelle la différence symétrique)