Exercice corrigé : f(x+y) = f(x) + f(y)

Voici la résolution de l’équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y)
f(x+y) = f(x) + f(y)

Voici la correction détaillée d’un des exercices les plus classiques d’équations : l’équation f(x+y) = f(x) + f(y), dans le cas où f est continue. Cet exercice qu’on peut relier au chapitre des continuités utilise aussi la notion de densité.

En voici l’énoncé :

Enoncé

Equation fonctionnelle classique

Corrigé

Cas des entiers

Sur les entiers, on va vérifier par récurrence que \forall n \in \N, f(n) = nf(1)
Initialisation : On a, en prenant x=y=0, f(0+0)=f(0)+f(0).
D’où f(0)=2f(0).
Ainsi, f(0) = 0

Hérédité : Soit n \in \N fixé. On suppose que f(n) = nf(1).
On a alors f(n+1) = f(n)+f(1) = nf(1) + f(1) = (n+1)f(1). L’hérédité est vérifiée.

On a donc bien \forall n \in \N, f(n) = nf(1)

Cas des entiers relatifs

Montrons que l’égalité est encore vraie pour les entiers relatifs. Soit n \in \Z_-^* .
On a 0=f(0) = f(n-n) = f(n) +f(-n) = f(n)-nf(1) . Notez bien que -n > 0.
Ce qui fait que finalement \forall n \in \Z_-^*, f(n) = nf(1)
D’où \forall n \in \Z, f(n) = nf(1)

Cas des rationnels

Soit r= \dfrac{p}{q} \in \mathbb{Q}, p \in \Z, q \in \N^* .
On a q f(r)= q f\left( \dfrac{p}{q} \right) = f\left( \dfrac{pq}{q} \right) = f(p) = pf(1).
On en déduit donc qf(r) = p f(1) \iff f(r) = \dfrac{p}{q}f(1)= rf(1)

En donc \forall r \in \mathbb{Q}, f(r) = rf(1)

Cas général

Soit x \in \R . On sait que \mathbb{Q} est dense dans \R .

On sait aussi que f est continue. On peut donc trouver une suite (x_n)_{n\in \N} de rationnels telle que \displaystyle \lim_{n \to + \infty} x_n = x . On conclut ensuite en utilisant le fait que f(x) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x_n) = \lim_{n \to + \infty} x_nf(1) = xf(1).

Maintenant, on pose a= f(1) . On a alors \forall x \in \R, f(x) = ax . f est donc une fonction linéaire.

Réciproquement, toutes les fonctions linéaires sont solutions.

Les solutions de l’équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y) avec f continue sont donc les fonctions linéaires.

Le corrigé en vidéo

Et pour ceux qui préfèrent, voici la correction en vidéo :

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