Nous allons corriger à la suite 3 exercices de sommes de Riemann. Si vous souhaitez juste des énoncés, allez plutôt ici. Connaitre ces exercices aide à bien comprendre cette partie du cours
Exercice 1
Commençons par écrire cette suite sous la forme d’un somme
\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{kn} = \sum_{i=n+1}^{kn}\dfrac{1}{i}Procédons ensuite à un changement d’indice :
\sum_{i=n+1}^{kn}\dfrac{1}{i}=\sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{n+i}Et factorisons par n :
\sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{1+i/n}On peut alors écrire cette suite sous la forme :
\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{1+i/n} Et maintenant on reconnait bien une somme de Riemann en posant
f(x) = \dfrac{1}{1+x} \text{ sur } [0,k-1]On peut maintenant trouver le résultat
\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{kn} = \int_0^{k-1} \dfrac{1}{1+x} = \ln(k)Ce qui permet de conclure ce premier exercice !
Exercice 2
Posons
u_n = \sqrt[n]{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)\left(1+\dfrac{2}{n} \right)\ldots \left(1+\dfrac{n}{n} \right)} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n 1+\dfrac{k}{n} }Et posons une suite annexe (vn) définie par
v_n = \ln (u_n) =\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right)La somme est de la forme
\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n} \right) \text{ avec } f(x) =\ln( 1+x)On a alors, en faisant une intégration par parties :
\begin{array}{rl}
\lim_{n \rightarrow + \infty} v_n& =\displaystyle \int_0^1 \ln(1+x) dx\\
& =\displaystyle[(1+x)\ln(1+x) - x]_0^1\\
& =\displaystyle2 \ln(2) - 1\\
&= \ln \left(\dfrac{4}{e} \right)
\end{array}Par continuité de la limite, on passe ensuite à l’exponentielle :
\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = \dfrac{4}{e}Ce qui conclut cet exercice de “produit” de Riemann
Exercice 3
Cette fois, nous allons donc utiliser les sommes de Riemann pour calculer un équivalent. On pose :
u_n = \sum_{k=1}^n k^{\alpha}Faisons apparaitre une somme de Riemann, pour cela, voici la manipulation que l’on fait :
u_n = \sum_{k=1}^n k^{\alpha} = n^{\alpha +1} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n} \right)^{\alpha} \right)Le terme entre parenthèses est bien une somme de Riemann, sous la forme :
\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left( \dfrac{k}{n} \right)avec f définie par
f(x) = x^{\alpha}Donc on a :
\lim_{n \rightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n} \right)^{\alpha} \right) = \int_0^1 x^{\alpha} dx = \dfrac{1}{\alpha+1}De là, on en tire que
\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n} \right)^{\alpha} \sim \dfrac{1}{\alpha+1}Puis on trouve alors l’équivalent recherché :
u_n = \sum_{k=1}^n k^{\alpha} \sim \dfrac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}Ce qui conclut notre exercice d’équivalent à l’aide d’une somme de Riemann
Ces exercices vous ont plu ?
Bonjour!
Est ce qu’il n’y a pas un problème dans le corrige de l’exercice 2?
Bonjour,
Peut-être, quel serait le problème ?
Je pense que tu as oublié le ln dans la somme des 1 + k/n et du coup cela tend vers l’intégrale de 0 à 1 de ln(1+t)dt, d’où une limite de ln(4/e) pour v_n et 4/e pour u_n
Ok vu,
C’est corrigé merci !