Nous allons corriger à la suite 3 exercices de sommes de Riemann. Si vous souhaitez juste des énoncés, allez plutôt ici. Connaitre ces exercices aide à bien comprendre cette partie du cours

Exercice 1

Somme de Riemann basique

Commençons par écrire cette suite sous la forme d’un somme

\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{kn} = \sum_{i=n+1}^{kn}\dfrac{1}{i}

Procédons ensuite à un changement d’indice :

\sum_{i=n+1}^{kn}\dfrac{1}{i}=\sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{n+i}

Et factorisons par n :

\sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{1+i/n}

On peut alors écrire cette suite sous la forme :

\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{(k-1)n}\dfrac{1}{1+i/n} 

Et maintenant on reconnait bien une somme de Riemann en posant

f(x) = \dfrac{1}{1+x} \text{ sur } [0,k-1]

On peut maintenant trouver le résultat

\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{kn} = \int_0^{k-1} \dfrac{1}{1+x} = \ln(k)

Ce qui permet de conclure ce premier exercice !

Exercice 2

Produit de Riemann

Posons

u_n = \sqrt[n]{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)\left(1+\dfrac{2}{n} \right)\ldots \left(1+\dfrac{n}{n} \right)} =  \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n 1+\dfrac{k}{n} }

Et posons une suite annexe (vn) définie par

v_n  = \ln (u_n) =\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n 1+\dfrac{k}{n}

La somme est de la forme

\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n} \right) \text{ avec } f(x) = 1+x

On a alors :

\lim_{n \rightarrow + \infty} v_n = \int_0^1 (1+x) dx = \dfrac{3}{2}

Par continuité de la limite, on passe ensuite à l’exponentielle :

\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n  = e^{\frac{3}{2}}

Ce qui conclut cet exercice de « produit » de Riemann

Exercice 3

Somme de Riemann et polynôme

Cette fois, nous allons donc utiliser les sommes de Riemann pour calculer un équivalent. On pose :

u_n = \sum_{k=1}^n k^{\alpha}

Faisons apparaitre une somme de Riemann, pour cela, voici la manipulation que l’on fait :

u_n = \sum_{k=1}^n k^{\alpha} = n^{\alpha +1} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n} \right)^{\alpha} \right)

Le terme entre parenthèses est bien une somme de Riemann, sous la forme :

\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left( \dfrac{k}{n} \right)

avec f définie par

f(x) = x^{\alpha}

Donc on a :

\lim_{n \rightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n} \right)^{\alpha} \right) = \int_0^1 x^{\alpha} dx = \dfrac{1}{\alpha+1}

De là, on en tire que

 \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n} \right)^{\alpha} \sim \dfrac{1}{\alpha+1}

Puis on trouve alors l’équivalent recherché :

u_n = \sum_{k=1}^n k^{\alpha} \sim \dfrac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}

Ce qui conclut notre exercice d’équivalent à l’aide d’une somme de Riemann

Ces exercices vous ont plu ?

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