Exercice corrigé : Le théorème de Wilson

Voici un exercice corrigé détaillé démontrant le théorème de Wilson. Des connaissances en arithmétique sont nécessaires.
Théorème de Wilson

Voici l’énoncé du théorème de Wilson, appelé aussi formule de Wilson, c’est un exercice d’arithmétique sur les nombres premiers :

Théorème de Wilson

Démontrons cette formule en faisant les deux implications :

Sens retour de l’équivalence

On commence par le sens retour

Et pour cela, montrons le par contraposée, c’est-à-dire que

\begin{array}{l}
\text{n n'est pas premier}\Rightarrow (n-1)! \not \equiv -1[n] 
\end{array}

Si n n’est pas un nombre premier alors il existe un nombre d diviseur de n tel que 1 < d < n.
De plus, on a

d | (n-1) ! 

Car d est un des facteurs de ce produit.
Donc, on a nécessairement que

d \nmid | (n-1) ! +1 

Et comme d | n, on a alors :

\begin{array}{l}
n \nmid  (n-1) ! +1 \\
\Leftrightarrow (n-1)!+1 \not\equiv 0 [n]\\
\Leftrightarrow (n-1)! \not\equiv -1 [n]
\end{array}

Ce qui montre le sens retour de l’équivalence

Sens direct de l’équivalence

Attaquons-nous maintenant au sens direct du théorème de Wilson.

Si k = 2, c’est gagné.

Si k ≥ 2, on va utiliser le fait que

\text{l'anneau } \mathbb Z / p \mathbb Z \text{ est un corps}

Donc si on prend un terme non nul d de cet anneau, il existe un inverse d’, c’est à dire un nombre tel que

dd' \equiv 1 [n]

Et comme l’équation x2 = 1 n’a que 2 solutions au plus, qui sont 1 et -1, alors si d ≠ 1 et d ≠ -1, on a nécessairement d’ ≠ d. Maintenant passons au calcul.

\begin{array}{l}
(n-1) ! =\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} i\\
(n-1) !=1\times(n -1)\times \displaystyle \prod_{i=2}^{n-2} i\\
(n-1) !=\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} i\\
(n-1) !=1\times(n -1)\times \displaystyle \prod_{(d,d'), dd' \equiv 1[n] } dd' \\
\text{ (On regroupe chaque terme avec son inverse)}\\
(n-1) !\equiv 1 \times -1 \times \displaystyle\prod_{(d,d'), dd'\equiv 1[n]} 1 [n]\\
(n-1) !\equiv -1 [n]
\end{array}

Et on a donc montré le sens direct du théorème de Wilson ou de la formule de Wilson !

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