Voici l’énoncé du théorème de Wilson, c’est un exercice d’arithmétique sur les nombres premiers :

Théorème de Wilson

Sens retour de l’équivalence

On commence par le sens retour

Et pour cela, montrons le par contraposée, c’est-à-dire que

\begin{array}{l}
\text{n n'est pas premier}\Rightarrow (n-1)! \not \equiv -1[n] 
\end{array}

Si n n’est pas un nombre premier alors il existe un nombre d diviseur de n tel que 1 < d < n.
De plus, on a

d | (n-1) ! 

Car d est un des facteurs de ce produit.
Donc, on a nécessairement que

d \nmid | (n-1) ! +1 

Et comme d | n, on a alors :

\begin{array}{l}
n \nmid  (n-1) ! +1 \\
\Leftrightarrow (n-1)!+1 \not\equiv 0 [n]\\
\Leftrightarrow (n-1)! \not\equiv -1 [n]
\end{array}

Ce qui montre le sens retour de l’équivalence

Sens direct de l’équivalence

Attaquons-nous maintenant au sens direct du théorème de Wilson.

Si k = 2, c’est gagné.

Si k ≥ 2, on va utiliser le fait que

\text{l'anneau } \mathbb Z / p \mathbb Z \text{ est un corps}

Donc si on prend un terme non nul d de cet anneau, il existe un inverse d’, c’est à dire un nombre tel que

dd' \equiv 1 [n]

Et comme l’équation x2 = 1 n’a que 2 solutions au plus, qui sont 1 et -1, alors si d ≠ 1 et d ≠ -1, on a nécessairement d’ ≠ d. Maintenant passons au calcul.

\begin{array}{l}
(n-1) ! =\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} i\\
(n-1) !=1\times(n -1)\times \displaystyle \prod_{i=2}^{n-2} i\\
(n-1) !=\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} i\\
(n-1) !=1\times(n -1)\times \displaystyle \prod_{(d,d'), dd' \equiv 1[n] } dd' \\
\text{ (On regroupe chaque terme avec son inverse)}\\
(n-1) !\equiv 1 \times -1 \times \displaystyle\prod_{(d,d'), dd'\equiv 1[n]} 1 [n]\\
(n-1) !\equiv -1 [n]
\end{array}

Et on a donc montré le sens direct du théorème de Wilson ! (ceci n’est pas une factorielle)

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