Voici l’énoncé du théorème de Wilson, appelé aussi formule de Wilson, c’est un exercice d’arithmétique sur les nombres premiers :

Démontrons cette formule en faisant les deux implications :
Sens retour de l’équivalence
On commence par le sens retour
Et pour cela, montrons le par contraposée, c’est-à-dire que
\begin{array}{l} \text{n n'est pas premier}\Rightarrow (n-1)! \not \equiv -1[n] \end{array}
Si n n’est pas un nombre premier alors il existe un nombre d diviseur de n tel que 1 < d < n.
De plus, on a
d | (n-1) !
Car d est un des facteurs de ce produit.
Donc, on a nécessairement que
d \nmid | (n-1) ! +1
Et comme d | n, on a alors :
\begin{array}{l} n \nmid (n-1) ! +1 \\ \Leftrightarrow (n-1)!+1 \not\equiv 0 [n]\\ \Leftrightarrow (n-1)! \not\equiv -1 [n] \end{array}
Ce qui montre le sens retour de l’équivalence
Sens direct de l’équivalence
Attaquons-nous maintenant au sens direct du théorème de Wilson.
Si k = 2, c’est gagné.
Si k ≥ 2, on va utiliser le fait que
Donc si on prend un terme non nul d de cet anneau, il existe un inverse d’, c’est à dire un nombre tel que
dd' \equiv 1 [n]
Et comme l’équation x2 = 1 n’a que 2 solutions au plus, qui sont 1 et -1, alors si d ≠ 1 et d ≠ -1, on a nécessairement d’ ≠ d. Maintenant passons au calcul.
\begin{array}{l} (n-1) ! =\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} i\\ (n-1) !=1\times(n -1)\times \displaystyle \prod_{i=2}^{n-2} i\\ (n-1) !=\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} i\\ (n-1) !=1\times(n -1)\times \displaystyle \prod_{(d,d'), dd' \equiv 1[n] } dd' \\ \text{ (On regroupe chaque terme avec son inverse)}\\ (n-1) !\equiv 1 \times -1 \times \displaystyle\prod_{(d,d'), dd'\equiv 1[n]} 1 [n]\\ (n-1) !\equiv -1 [n] \end{array}
Et on a donc montré le sens direct du théorème de Wilson ou de la formule de Wilson !
Cet exercice vous a plu ?