Fonction lipschitzienne : Cours et exercices corrigés

Connaissez-vous les fonctions lipschitziennes ? C’est une famille de fonctions continues assez pratiques à manipuler
Fonctions lipschitziennes

Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de fonction lipschitzienne, une notion intéressante lorsqu’on travaille avec la continuité. Sans plus attendre, démarrons par la définition.

Définition d’une fonction lipschitzienne

Soit I un intervalle de \R . Soit f : I \to \R et k \in \R_+ . La fonction f est dite k-lipschitzienne :

\forall x,y \in I, |f(x) - f(y) | \leq k |x-y|

On peut aussi parler de fonction lipschitzienne sans parler de k a priori. f est dit lipschitzienne si :

\exists k \in \R_+, \forall x,y \in I, |f(x) - f(y) | \leq k |x-y|

Petite définition supplémentaire, f est dite contractante si

\forall x,y \in I, |f(x) - f(y) | < |x-y|

Voici deux propriétés de ces fonctions :

  • Une fonction lipschitzienne est continue
  • Une fonction lipschitzienne est uniformément continue

Exercices corrigés

Exercice 1231

Enoncé

Fonctions lipschitziennes sont uniformément continues

Corrigé

Reprenons la définition d’une fonction lipschitzienne. On a l’existence d’un k tel que

\forall x,y \in I, |f(x) - f(y) | \leq k |x-y|

Maintenant, soit \varepsilon > 0 . Posons \delta = \dfrac{\varepsilon}{k} . On choisit alors x et y tels que |x-y| < \delta . On a alors |f(x)-f(y) \leq k |x-y| < k \delta = \varepsilon . Ainsi, on a :

\forall \varepsilon > 0 ,\exists \delta >0 , \forall x,y \in I, |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y) | < \varepsilon

ce qui est bien la définition de l’uniforme continuité.

Exercice 1232

Enoncé

Fonction lipschitzienne et dérivée

Corrigé

Soit M une borne de f', c’est à dire que \forall x \in I, |f'(x) | \leq M . On applique alors l’inégalité des accroissements finis ce qui nous donne

\left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \leq M \iff |f(x) - f(y) | \leq M |x-y|

f est donc M-lipschitzienne.

Exercice 1233

Enoncé

Fonction lipschitzienne définie par un sup

Corrigé

Soient s et t deux réels. Pour faciliter les calculs, on suppose que s \leq t . Il existe x_1, x_2 \in [a;b] tels que :

  • h(s) = f(x_1) + s g(x_1)
  • h(t) = f(x_2) + t g(x_2). Or, puisque c’est une borne supérieure, on a h(t) = f(x_2) + t g(x_2)\geq f(x_1) +tg(x_1) .

On a alors :

\begin{array}{ll}
h(t) - h(s) & =  f(x_2) + t g(x_2) -( f(x_1) + s g(x_1))\\
 & \leq f(x_2) + t g(x_2) -( f(x_2) + s g(x_2))\\
 & \leq  (t-s)g(x_2)\\
\end{array}

De même,

\begin{array}{ll}
h(t) - h(s) & =  f(x_2) + t g(x_2) -( f(x_1) + s g(x_1))\\
 & \geq f(x_1) + t g(x_1) -( f(x_1) + s g(x_1))\\
 & \geq  (t-s)g(x_1)\\
\end{array}

Comme l’image d’un segment par une application continue est un segment, on a l’existence de M = \sup_{x \in [a;b]} |g(x)|. En reprenant les deux inégalités du dessus, on a alors

|h(t) - h(s)| \leq M |t-s|
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