Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de fonction lipschitzienne, une notion intéressante lorsqu’on travaille avec la continuité. Sans plus attendre, démarrons par la définition.
Définition d’une fonction lipschitzienne
Soit I un intervalle de \R . Soit f : I \to \R et k \in \R_+ . La fonction f est dite k-lipschitzienne :
\forall x,y \in I, |f(x) - f(y) | \leq k |x-y|
On peut aussi parler de fonction lipschitzienne sans parler de k a priori. f est dit lipschitzienne si :
\exists k \in \R_+, \forall x,y \in I, |f(x) - f(y) | \leq k |x-y|
Petite définition supplémentaire, f est dite contractante si
\forall x,y \in I, |f(x) - f(y) | < |x-y|
Voici deux propriétés de ces fonctions :
- Une fonction lipschitzienne est continue
- Une fonction lipschitzienne est uniformément continue
Exercices corrigés
Exercice 1231
Enoncé
Corrigé
Reprenons la définition d’une fonction lipschitzienne. On a l’existence d’un k tel que
\forall x,y \in I, |f(x) - f(y) | \leq k |x-y|
Maintenant, soit \varepsilon > 0 . Posons \delta = \dfrac{\varepsilon}{k} . On choisit alors x et y tels que |x-y| < \delta . On a alors |f(x)-f(y) \leq k |x-y| < k \delta = \varepsilon . Ainsi, on a :
\forall \varepsilon > 0 ,\exists \delta >0 , \forall x,y \in I, |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y) | < \varepsilon
ce qui est bien la définition de l’uniforme continuité.
Exercice 1232
Enoncé
Corrigé
Soit M une borne de f', c’est à dire que \forall x \in I, |f'(x) | \leq M . On applique alors l’inégalité des accroissements finis ce qui nous donne
\left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \leq M \iff |f(x) - f(y) | \leq M |x-y|f est donc M-lipschitzienne.
Exercice 1233
Enoncé
Corrigé
Soient s et t deux réels. Pour faciliter les calculs, on suppose que s \leq t . Il existe x_1, x_2 \in [a;b] tels que :
- h(s) = f(x_1) + s g(x_1)
- h(t) = f(x_2) + t g(x_2). Or, puisque c’est une borne supérieure, on a h(t) = f(x_2) + t g(x_2)\geq f(x_1) +tg(x_1) .
On a alors :
\begin{array}{ll}
h(t) - h(s) & = f(x_2) + t g(x_2) -( f(x_1) + s g(x_1))\\
& \leq f(x_2) + t g(x_2) -( f(x_2) + s g(x_2))\\
& \leq (t-s)g(x_2)\\
\end{array}De même,
\begin{array}{ll}
h(t) - h(s) & = f(x_2) + t g(x_2) -( f(x_1) + s g(x_1))\\
& \geq f(x_1) + t g(x_1) -( f(x_1) + s g(x_1))\\
& \geq (t-s)g(x_1)\\
\end{array}Comme l’image d’un segment par une application continue est un segment, on a l’existence de M = \sup_{x \in [a;b]} |g(x)|. En reprenant les deux inégalités du dessus, on a alors
|h(t) - h(s)| \leq M |t-s|
