Cours : Noyau et image de matrice

Dans cet article, nous allons vous donner tout ce qu’il faut savoir sur les notions de noyau et d’image de matrice.

Prérequis

• Produit de matrices
• Matrices d’application linéaire

Cours

Soit \mathbb{K} un corps. Soit A \in M_{n,p} (\mathbb{K}) . Nous allons définir le noyau d’une matrice comme étant l’ensemble suivant, noté \ker(A)

\ker(A) = \{X \in M_{p,1}(\mathbb{K})|AX = 0 \}

En pratique, on se retrouve donc à résoudre un système pour trouver les solutions.

On définit l’image, notée Im, le sous-ensemble suivant :

\text{Im}(A) = \{Y \in M_{n,1}(\mathbb{K})|\exists X \in M_{p,1}(\mathbb{K}),Y=AX  \}

Caractérisations

Les caractérisations suivantes sont vraies :

• Soit f l’endomorphisme qui dans une base \mathcal{B} a pour matrice A. Alors le noyau de f (resp. l’image de f) peut être identifié au noyau de A (resp. l’image de A), si on identifie \R^p à M_{p,1}(\mathbb{K}) et \R^n à M_{n,1}(\mathbb{K}).
• Notons C_1, \ldots, C_p les p colonnes de A. Alors \text{vect}(C_1, \ldots, C_p) = \text{Im} (A) . C’est une bonne manière de trouver l’image.

Propriétés

Soit f l’endomorphisme qui dans une base \mathcal{B} a pour matrice A. Alors on a \text{rg}(A) = \text{rg}(u). Le rang est indépendant de la base choisie. En pratique, pour trouver le rang, on utilise souvent le fait que \text{rg}(A) =\text{rg}( \text{vect}(C_1, \ldots, C_p))

Le théorème du rang est vérifié pour les matrices. Soit A \in M_{n,p} (\mathbb{K}) :

\text{rg}(A) + \dim(\ker(A)) = p

On a aussi comme pour les applications linéaires que le rang ne peut pas dépasser la dimension de l’espace de départ et d’arrivée :

\text{rg}(A) \leq \min(n,p)

Notons aussi que \text{Im}(A) est un sous-espace vectoriel de M_{n,1}(\mathbb{K}) et \ker(A) est un sous-espace vectoriel de M_{p,1}(\mathbb{K})