La loi parabolique ne fait pas partie des lois de probabilité les plus classiques. Sur progresser-en-maths, on essaie de traiter chaque mois une nouvelle loi de probabilité, alors voici celle du mois d’avril 2023.
Définition
Soit \alpha > 0 et \beta \in \R . La loi parabolique de paramètres \alpha et \beta est alors définie par la densité :
f(x) = \left \{ \begin{array}{ccc}
\alpha (x- \beta)^2 & \text{si} & x \in \left[ \beta - \left( \frac{3}{2\alpha} \right)^{\frac{1}{3}} ; \beta + \left( \frac{3}{2\alpha} \right)^{\frac{1}{3}}\right]\\
0 & \text{sinon}
\end{array} \right.Propriétés
Espérance de la loi parabolique
Son espérance vaut
\mathbb{E}(X) = \betaVariance de la loi parabolique
La loi parabolique a pour variance
V(X) = \dfrac{3}{5} b^2avec \alpha = \dfrac{3}{2b^3}
Exercice
Soit X une variable aléatoire de densité f(x) = c(1 − x^2) 1_{[-1;1]}(x) avec 1 la fonction indicatrice.
- Déterminer c pour que f soit bien une densité de probabilité.
- Quelle est la fonction de répartition de X ?
- Calculer \mathbb{E}(X) et \text{Var}(X)
