Voici l’énoncé d’un exercice assez classique que nous allons corriger à propos des nombres de Mersenne. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre de l’arithmétique autour des nombres premiers. C’est un exercice faisable en première année dans le supérieur dès lors qu’on a fait de l’arithmétique. En voici l’énoncé :

Et voici maintenant la première question !

Question 1

Montrons plutôt la contraposée, c’est à dire. Si a ≠ 2 ou n n’est pas premier alors an – 1 n’est pas premier.

Premier cas : a ≠ 2

Dans ce cas, on utilise la formule qu’on a donnée dans le chapitre des identités remarquables :

a^n-1 = (a-1)\sum_{k=0}^{n-1} a^k

On a :

a-1 \geq 2

Et

\sum_{k=0}^{n-1} a^k \geq 1 +a \geq 2 

Donc on a trouvé 2 facteurs strictement supérieurs à 1 permettant de décomposer an – 1 en deux diviseurs. Donc an – 1 n’est pas premier.

Cas n non premier

Dans ce cas, il existe d et k tous les deux supérieurs ou égaux à 2 tels que : n = dk
On a alors, en utilisant toujours la même formule

a^n-1 = (a^{d})^k -1 = (a^d-1)\sum_{i=0}^{k-1}a^{di}

Et là aussi :

a^d - 1  \geq 2^2 -1 =3

On a alors φ définie, continue par morceaux, intégrable et

\sum_{i=0}^{k-1}a^{di} \geq 1 + a^d \geq 1 +2^2 = 5

On a donc décomposé ce nombre comme le produit de deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Donc là aussi, il n’est pas premier.

Question 2

Tout simplement, calculons explicitement ces nombres pour montrer qu’ils sont premiers.

  • M2 = 22 – 1 = 3 est premier
  • M3 = 23 – 1 = 7 est premier
  • M5 = 25 – 1 = 31 est premier
  • M7 = 27 – 1 = 127 est premier (2, 3, 5, 7, 11 ne le divisent pas)

En revanche, M11 n’est pas premier. En effet : M11 = 211 – 1 = 2047 = 23 x 89. Donc tous les nombres de Mersenne ne sont pas premiers.

Anecdote

On connait actuellement 48 nombres de Mersenne de manière sûre :

M2, M3, M5, M7, M13, M17, M19, M31, M61, M89, M127, M521, M607, M1 279, M2 203, M2 281, M3 217, M4 253, M9 689, M9 941, M11 213, M19 937, M21 701, M23 209, M44 497, M86 243, M110 503, M132 049, M216 091, M756 839, M859 433, M1 257 787, M1 398 269, M2 976 221, M3 021 377, M6 972 593, M13 466 917, M20 996 011, M24 036 583, M25 964 951, M30 402 457, M32 582 657, M37 156 667, M42 643 801, M43 112 609, M57 885 161.

Et c’est terminé pour cet exercice assez court ! Cet exercice vous a plu ?

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