Dans cet article, nous allons nous intéresser à la notion de fonction réciproque, une notion essentielle en analyse comme en algèbre.
Prérequis
Cours
Soit f : I \to J avec I et J deux ensembles. On définit mathématiquement la fonction réciproque la fonction, si elle existe et notée f^{-1}, la fonction telle que \forall x \in I, f^{-1}(f(x)) = x, \forall x \in J, f(f^{-1}(x)) = x
La fonction réciproque existe si et seulement si f est bijective de I vers J. La fonction réciproque sera alors bijective de J vers I.
La représentation d’une fonction réciproque va faire un axe de symétrie par rapport à la droite y = x . Exemple ci-dessous avec ln et logarithme.
On peut définir de manière plus générale une application réciproque. Par exemple la “matrice réciproque” de A est la matrice B telle que AB = BA = I_n
Exemples
- La fonction réciproque du logarithme népérien est l’exponentielle. Réciproquement, la fonction réciproque de l’exponentielle est le logarithme népérien.
- Soit f: \left\{ \begin{array}{ccc} \R_+ &\to& \R_+\\x & \mapsto & x^2 \end{array} \right. . La réciproque de cette fonction est la fonction racine. Il est nécessaire de faire attention à l’espace de départ et d’arrivée.
- Soit n \in \N. Soit f: \left\{ \begin{array}{ccc} \R_+ &\to& \R_+\\x & \mapsto & x^n \end{array} \right. . La réciproque de cette fonction est la fonction racine n-ème.
- On a évidemment la même chose avec les fonctions trigonométriques. Avec les bons ensembles de départ et d’arrivée (cf cours sur les fonctions trigonométriques réciproques), on a :
- \arccos(\cos(x)) = x
- \cos(\arccos(x)) = x
- \arcsin(\sin(x)) = x
- \sin(\arcsin(x)) = x
- \arctan(\tan(x)) = x
- \tan(\arctan(x)) = x
- La fonction réciproque de la fonction inverse est la fonction inverse. On appelle ce type de fonction une involution.
Trouver une fonction réciproque
Pour trouver une fonction réciproque, une méthode qui fonctionne bien est d’écrire y = f(x) puis de chercher g tel que x = g(y) , la fonction obtenue est la fonction réciproque.
Exemple : On va cherche la réciproque de la fonction f définie par f(x) = \dfrac{x}{1-x}. On écrit donc y = f(x)
\begin{array}{rrcl}
&y &= &\dfrac{x}{1-x}\\
\iff &y (1-x)&=& x\\
\iff & y -xy&=& x\\
\iff &y &=& x+xy\\
\iff &y &=& x(1+y)\\
\iff &x &=& \dfrac{y}{1+y}\\
\end{array}Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Trouver la réciproque de f: x \mapsto \dfrac{x-2}{x-1}
Corrigé : On va écrire y = f(x) et chercher à écrire x en fonction de y
\begin{array}{rrcl}
&y &= &\dfrac{x-2}{x-1}\\
\iff &y (x-1)&=& x-2\\
\iff &y x-y&=& x-2\\
\iff &y x-x&=& y-2\\
\iff &x(y-1)&=& y-2\\
\iff &x&=& \dfrac{y-2}{y-1}\\
\end{array}On a donc f^{-1}(y) = \dfrac{y-2}{y-1}. Attention : pour être rigoureux, il faut regarder sur quel ensemble la fonction est bijective.
Exercice 2
Enoncé : Trouver la réciproque de f: x \mapsto \sqrt[6]{1-x^6}
Corrigé : Ici aussi, on va partir de y = f(x) pour chercher à écrire x en fonction de y. On a :
\begin{array}{rrcl}
&y &= &\sqrt[6]{1-x^6}\\
\iff &y^6&=& 1-x^6\\
\iff &x^6&=& 1-y^6\\
\iff &x&=& \sqrt[6]{1-y^6}\\
\end{array}On a donc obtenu une fonction involutive.
Exercice 3
Enoncé : Trouver la réciproque de la fonction cosinus hyperbolique en l’écrivant sous la forme d’un logarithme.
Corrigé : On a y = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}. On pose X = e^x \iff x = \ln(X) . Ainsi, on a
\begin{array}{rrcl}
&y &= &\dfrac{X + \frac{1}{X}}{2}\\
\iff &2y&=& X+\dfrac{1}{X}\\
\iff &2Xy&=& X^2+1\\
\iff &X^2-2Xy+1&=& 0\\
\end{array}On a alors une fonction du second degré d’inconnue X. On trouve \Delta = (-2y)^2 -4 = 4(y^2-1). De plus, on sait que y \geq 1. Subséquemment, on a 2 solutions :
\left\{ \begin{array}{ll} X_1 = \dfrac{2y-2\sqrt{y^2-1}}{2}=y - \sqrt{y^2-1}\\ X_2 = \dfrac{2y+2\sqrt{y^2-1}}{2}=y + \sqrt{y^2-1}\end{array} \right.On prend la solution > 1 pour avoir quelque chose de positif en prenant le logarithme. On a donc x = \ln(y+ \sqrt{y^2-1})
