Le théorème de la limite monotone est un théorème qu’on utilise souvent pour démontrer l’existence de la limite d’une suite. Il est très pratique car ses hypothèses sont assez souvent faciles à vérifier.
Enoncé du théorème de la limite monotone
Cas 1 : Suite croissante :
- Toute suite de réels croissante et majorée converge.
- Toute suite de réels croissante et non majorée tend vers +\infty
De manière analogue, on a, pour les suites décroissantes.
Cas 2 : Suite décroissante :
- Toute suite de réels décroissante et minorée converge.
- Toute suite de réels décroissante et non minorée tend vers -\infty
Démonstration du théorème de la limite monotone
Faisons la démonstration dans le cas où la suite est croissante. Pour cela, on utilise la propriété de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée de \R admet une borne supérieure. On définit A = \{ u_n, n \in \N\} .
Dans le cas où la suite est majorée :
- A est non vide
- A est majorée
A vérifie donc la propriété de la borne supérieure notée l. Ecrivons sa caractérisation séquentielle :
- \forall n \in \N, u_n \leq l
- \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \N, u_{n_0} \geq l - /varepsilon
Ainsi, on a \forall n \geq n_0, l - \varepsilon \leq u_{n_0} \leq u_n \leq l \leq l+ \varepsilon. Ceci peut se réécrire \forall n \geq n_0, l - \varepsilon \leq u_n \leq l+ \varepsilon ou encore \forall n \geq n_0, | u_n-l| \leq \varepsilon. Ainsi, (u_n) converge vers l.
Si la suite est non majorée : \forall M \in \R, \exists n_0 \in \N, u_{n_0} \geq M . Or, \forall n \geq n_0, u_n \geq u_{n_0} . Ainsi, \forall M \in \R, \exists n_0 \in \N, \forall n \geq n_0, u_n \geq M. Ceci signifie, grâce à la définition de limites, que la suite converge vers + \infty.
On a donc terminé la démonstration.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Soit (u_n) la suite définie par u_0 = - 3 et u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n +3
- Montrer que la suite est majorée par 4
- En déduire qu’elle est convergente
Corrigé :
Question 1 : On va raisonner par récurrence.
Initialisation : Pour n = 0, on a u_0 = - 3 et donc la propriété est vérifiée.
Hérédité : Soit n \in \N tel que u_n \leq 4. On a : u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n +3 \leq \dfrac{1}{4}\times 4 +3 = 1+3 = 4 . Ainsi u_{n+1} \leq 4. La propriété est donc vérifiée au rang n+1.
Ainsi, \forall n \in \N, u_n \leq 4
Question 2 : Etudions la monotonie de la suite (u_n). On a u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{4}u_n +3- u_n = - \dfrac{3}{4}u_n +3 \geq -\dfrac{3}{4}\times 4 +3 = 0 . La suite est donc croissante. On a vu dans la question précédente qu’elle était majorée par 4. Elle est donc convergente.
Exercice 2
La question 2 de l’énoncé sur les intégrales de Wallis montre la convergence de cette suite à l’aide du théorème de la limite monotone
Exercice 3
Le théorème de la limite monotone permet d’obtenir le théorème des suites adjacentes, que je vous laisse découvrir si vous ne connaissez pas :
