Le théorème de la limite monotone (suites) : Cours et exercices corrigés

Qu’est-ce que le théorème de la limite monotone pour les suites ? Découvrez ce théorème très utile pour démontrer l’existence d’une limite.
Limite

Le théorème de la limite monotone est un théorème qu’on utilise souvent pour démontrer l’existence de la limite d’une suite. Il est très pratique car ses hypothèses sont assez souvent faciles à vérifier.

Enoncé du théorème de la limite monotone

Cas 1 : Suite croissante :

  • Toute suite de réels croissante et majorée converge.
  • Toute suite de réels croissante et non majorée tend vers +\infty

De manière analogue, on a, pour les suites décroissantes.

Cas 2 : Suite décroissante :

  • Toute suite de réels décroissante et minorée converge.
  • Toute suite de réels décroissante et non minorée tend vers -\infty

Démonstration du théorème de la limite monotone

Faisons la démonstration dans le cas où la suite est croissante. Pour cela, on utilise la propriété de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée de \R admet une borne supérieure. On définit A = \{ u_n, n \in \N\} .

Dans le cas où la suite est majorée :

  • A est non vide
  • A est majorée

A vérifie donc la propriété de la borne supérieure notée l. Ecrivons sa caractérisation séquentielle :

  • \forall n \in \N, u_n \leq l
  • \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \N, u_{n_0} \geq l - /varepsilon

Ainsi, on a \forall n \geq n_0, l - \varepsilon \leq u_{n_0} \leq u_n \leq l \leq l+ \varepsilon. Ceci peut se réécrire \forall n \geq n_0, l - \varepsilon \leq u_n \leq l+ \varepsilon ou encore \forall n \geq n_0, | u_n-l| \leq \varepsilon. Ainsi, (u_n) converge vers l.

Si la suite est non majorée : \forall M \in \R, \exists n_0 \in \N, u_{n_0} \geq M . Or, \forall n \geq n_0, u_n \geq u_{n_0} . Ainsi, \forall M \in \R, \exists n_0 \in \N, \forall n \geq n_0, u_n \geq M. Ceci signifie, grâce à la définition de limites, que la suite converge vers + \infty.

On a donc terminé la démonstration.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Soit (u_n) la suite définie par u_0 = - 3 et u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n +3

  1. Montrer que la suite est majorée par 4
  2. En déduire qu’elle est convergente

Corrigé :

Question 1 : On va raisonner par récurrence.

Initialisation : Pour n = 0, on a u_0 = - 3 et donc la propriété est vérifiée.

Hérédité : Soit n \in \N tel que u_n \leq 4. On a : u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n +3 \leq \dfrac{1}{4}\times 4 +3 = 1+3 = 4 . Ainsi u_{n+1} \leq 4. La propriété est donc vérifiée au rang n+1.

Ainsi, \forall n \in \N, u_n \leq 4

Question 2 : Etudions la monotonie de la suite (u_n). On a u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{4}u_n +3- u_n = - \dfrac{3}{4}u_n +3 \geq -\dfrac{3}{4}\times 4 +3 = 0 . La suite est donc croissante. On a vu dans la question précédente qu’elle était majorée par 4. Elle est donc convergente.

Exercice 2

La question 2 de l’énoncé sur les intégrales de Wallis montre la convergence de cette suite à l’aide du théorème de la limite monotone

Exercice 3

Le théorème de la limite monotone permet d’obtenir le théorème des suites adjacentes, que je vous laisse découvrir si vous ne connaissez pas :

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