Voici l’énoncé d’un exercice qui permet d’étudier différentes propriétés des intégrales de Wallis. C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des intégrales et celui des suites. C’est un exercice tout à fait faisable en première année dans le supérieur. En voici l’énoncé :
Enoncé
Et démarrons tout de suite la correction
Corrigé
Question 1
Pour cette question, nous allons faire un changement de variable et poser
u = \dfrac{\pi}{2}-tOn obtient alors
\begin{array}{l}
W_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt \\
=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^n\left(\frac{\pi}{2}-u\right) (-du)\\
=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt
\end{array}
On a utilisé les propriétés des sinus et des cosinus. Ceci répond aisément à cette première question (qui n’est pas la plus dure)
Passons maintenant à la seconde question !
Question 2
Montrons que la suite (Wn) est décroissante. On a :
\forall t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], 0\leq \sin(t) \leq 1En multipliant de chaque côté par sinn(t), on a
\forall t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], 0\leq \sin^{n+1}(t) \leq \sin^n(t)Et intégrant de chaque côté, on obtient alors
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 dt \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}(t) dt\leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n(t)dt\\
\iff0 \leq W_{n+1}\leq W_n
\end{array}La suite (Wn) est donc bien décroissante. On vient aussi d’obtenir qu’elle était minorée par 0.
Donc en tant que suite décroissante et minorée, la suite (Wn) converge.
Trouvons maintenant sa limite.
Soient
a \in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right] \text{ et } \varepsilon >0Faisons la manipulation suivante :
\begin{array}{l}
0 \leq W_n \\
=\displaystyle \int_0^a \sin^{n}t dt+\int_a^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}t dt\\
\leq \displaystyle \int_0^a \sin^{n}a dt+\int_a^{\frac{\pi}{2}} 1 dt\\
\leq a\sin^{n}a + \left( \frac{\pi}{2} - a \right)
\end{array}Maintenant on choisit a tel que
0 < \left( \frac{\pi}{2} - a \right) < \dfrac{\varepsilon}{2}Une fois ce a fixé, on sait qu’à partir d’un certain rang, on a :
0 \leq a\sin^{n}a \leq \dfrac{\varepsilon}{2}Ce qui fait qu’on obtient l’encadrement suivant :
0 \leq W_n \leq a\sin^{n}a + \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \leq \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} \varepsilonQuestion 3
On va faire une intégration par parties. Pour cela, écrivons la décomposition suivante :
\forall n \geq 2, W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin(t) \sin^{n-1}(t) dtOn intègre le membre de gauche et on dérive le membre de droite :
W_n = \left[-\cos(t) \sin^{n-1}(t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2} } \cos^2(t) \sin^{n-2}(t) dtOn utilise ensuite les formules de trigonométrie et on simplifie le premier terme :
\begin{array}{l}
W_n = \displaystyle (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2} } (1-\sin^2(t) )\sin^{n-2}(t) dt\\
\Leftrightarrow W_n = \displaystyle (n-1)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin^{n-2}(t) dt-\int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin^{n}(t) dt\right)\\
\Leftrightarrow W_n = (n-1)(W_{n-2}-W_n) \\
\Leftrightarrow nW_n = (n-1)W_{n-2} \\
\Leftrightarrow W_n = \dfrac{n-1}{n}W_{n-2} \\
\end{array}Ce qui est bien une relation de récurrence, d’ordre 2.
Question 4
Calculons les 2 premières valeurs de la suite :
W_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^0(t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dt = \dfrac{\pi}{2}Calculons W1
W_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^1(t) dt =[-cos(t)]_0^{\frac{\pi}{2}}= 1Commençons par les termes pairs :
W_{2n} = \dfrac{2n-1}{2n}W_{2n-2} = \ldots = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k-1)}{\prod_{k=1}^n (2k)}W_0On multiplie au numérateur et au dénominateur les termes pair pour que le numérateur contienne tous les termes entre 1 et 2n.
W_{2n} = \dfrac{\prod_{k=1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^n (2k)^2}W_0 = \dfrac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\dfrac{\pi}{2}On fait ensuite la même démarche avec les termes impairs :
W_{2n+1} = \dfrac{2n}{2n+1}W_{2n-1} = \ldots = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k)}{\prod_{k=1}^n (2k+1)}W_1Puis on multiplie au numérateur et au dénominateur par tous les termes pairs pour que le dénominateur contienne tous les termes entre 1 et 2n+1 :
W_{2n+1} = \dfrac{\prod_{k=1}^n (2k)^2}{\prod_{k=1}^{2n+1} k}W_1= \dfrac{2^{2n}n!^2}{(2n+1)!}Ce qui répond bien à la question.
Question 5
Démontrons une relation qui va nous aider. On a :
\begin{array}{l}
W_n = \dfrac{n-1}{n}W_{n-2}\\
\Leftrightarrow nW_n = (n-1)W_{n-2}\\
\Leftrightarrow nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}
\end{array}La suite (nWnWn-1) est donc une suite constante. On a donc :
nW_nW_{n-1} = 1 W_1W_0 = \dfrac{\pi}{2}De plus,
\begin{array}{l}
W_{n} \leq W_{n-1}\leq W_{n-2}\\
\Leftrightarrow W_{n} \leq W_{n-1}\leq \dfrac{n}{n-1}W_{n}\\
\Leftrightarrow 1 \leq \dfrac{W_{n-1}}{W_n}\leq \dfrac{n}{n-1}
\end{array}Ce qui nous donne l’équivalent suivant :
W_n \sim W_{n-1}Donc, en reprenant notre égalité :
\begin{array}{l}
\dfrac{\pi}{2} = nW_nW_{n-1} \sim n W_n^2\\
\Rightarrow W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}
\end{array}Ce qui conclut notre question et donc notre exercice. On a vu plusieurs propriétés des intégrales de Wallis.
Cet article a une suite, où on calcule la formule de Stirling, découvrez-le :
Corrigé en vidéo
Et si vous préférez, voici la correction en vidéo :
Cet exercice vous a plu ? Découvrez comment cet exercice peut aider à calculer la formule de Stirling !
