Le théorème d’Al-Kashi : Cours et exercice corrigé

Le théorème d’Al-Kashi est un théorème plutôt connu de géométrie

Enoncé du théorème d’Al-Kashi

Ce théorème peut aussi être appelé loi des cosinus. Le théorème d’Al-Kashi peut être exprimé mathématiquement comme suit : si un triangle ABC a un côté BC de longueur a, un côté AC de longueur b et un angle de mesure \gamma entre les côtés a et b, alors la longueur AB du côté c opposé à l’angle \gamma peut être calculée en utilisant la formule suivante : c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)

On peut évidemment écrire des formules similaires avec les deux autres angles !

Ce théorème est une généralisation du théorème de Pythagore. Et bien sûr, si \gamma = 90), on reconnait le théorème de Pythagore.

Corollaire

Voici un corollaire : l’angle \gamma est aigu si et seulement si c^2 < a^2 +b^2 .

Démonstration du théorème d’Al-Kashi

On va utiliser le produit scalaire pour démontrer ce théorème rapidement :

\begin{array}{ll}
c^2 &= ||\overrightarrow{AB}||^2 \\
&= ||\overrightarrow{CB}- \overrightarrow{CA}||^2 \\
&=( \overrightarrow{CB}- \overrightarrow{CA}).( \overrightarrow{CB}- \overrightarrow{CA})  \\
&=||\overrightarrow{CB}||^2 +||\overrightarrow{CA}||^2-2\overrightarrow{CB}. \overrightarrow{CA}\\
&= a ^2 +b^2 -2ab\cos(\gamma)
\end{array}

On a utilisé la formule qui relie norme et produit scalaire :

\langle x,y \rangle = ||x||.||y|| \cos(\overrightarrow x , \overrightarrow y)

Quand utiliser le théorème d’Al-Kashi ?

Si on connait 2 longueurs d’un triangle et un angle, et qu’on veut facilement déterminer la troisième longueur, le théorème d’Al-Kashi est idéal pour cela.

Aussi, si on connait les 3 longueurs d’un triangle, le théorème d’Al-Kashi permet de calculer les angles.

Exercice corrigé

Enoncé : Soit un triangle ABC tel que AB = 6, AC = 3 et (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ) = 60° . Déterminer l’angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} )

Corrigé : Déterminons d’abord la longueur manquante à l’aide du théorème :

On a directement : BC^2 = AB^2+AC^2 - 2 AB.AC.\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 6^2 +3^2 -2 \times 6 \times 3 \cos(60°) = 36+9-18 = 27 . Ainsi, BC = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}

A partir de là, on peut calculer l’angle recherché :

\begin{array}{rrl}& AC^2  &= AB^2+BC^2 - 2  AB.BC.\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\\
\iff &  \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) &= \dfrac{AB^2+BC^2 -AC^2}{2AB.BC}\\
\Rightarrow &  \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) &= \dfrac{36+27 -9}{12\times 3 \sqrt{3}}\\
\Rightarrow &  \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) &= \dfrac{54}{36 \sqrt{3}}\\
\Rightarrow &  \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) &= \dfrac{3}{2 \sqrt{3}}\\
\Rightarrow &  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}&\approx 30°

\end{array}

On trouve donc que l’angle recherché vaut approximativement 30°.