Le théorème d’Al-Kashi est un théorème plutôt connu de géométrie
Enoncé du théorème d’Al-Kashi
Ce théorème peut aussi être appelé loi des cosinus. Le théorème d’Al-Kashi peut être exprimé mathématiquement comme suit : si un triangle ABC a un côté BC de longueur a, un côté AC de longueur b et un angle de mesure \gamma entre les côtés a et b, alors la longueur AB du côté c opposé à l’angle \gamma peut être calculée en utilisant la formule suivante : c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)
On peut évidemment écrire des formules similaires avec les deux autres angles !
Ce théorème est une généralisation du théorème de Pythagore. Et bien sûr, si \gamma = 90), on reconnait le théorème de Pythagore.
Corollaire
Voici un corollaire : l’angle \gamma est aigu si et seulement si c^2 < a^2 +b^2 .
Démonstration du théorème d’Al-Kashi
On va utiliser le produit scalaire pour démontrer ce théorème rapidement :
\begin{array}{ll}
c^2 &= ||\overrightarrow{AB}||^2 \\
&= ||\overrightarrow{CB}- \overrightarrow{CA}||^2 \\
&=( \overrightarrow{CB}- \overrightarrow{CA}).( \overrightarrow{CB}- \overrightarrow{CA}) \\
&=||\overrightarrow{CB}||^2 +||\overrightarrow{CA}||-2\overrightarrow{CB}. \overrightarrow{CA}\\
&= a ^2 +b^2 -2ab\cos(\gamma)
\end{array}On a utilisé la formule qui relie norme et produit scalaire :
\langle x,y \rangle = ||x||.||y|| \cos(\overrightarrow x , \overrightarrow y)
Quand utiliser le théorème d’Al-Kashi ?
Si on connait 2 longueurs d’un triangle et un angle, et qu’on veut facilement déterminer la troisième longueur, le théorème d’Al-Kashi est idéal pour cela.
Aussi, si on connait les 3 longueurs d’un triangle, le théorème d’Al-Kashi permet de calculer les angles.
Exercice corrigé
Enoncé : Soit un triangle ABC tel que AB = 6, AC = 3 et (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ) = 60° . Déterminer l’angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} )
Corrigé : Déterminons d’abord la longueur manquante à l’aide du théorème :
On a directement : BC^2 = AB^2+AC^2 - 2 AB.AC.\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 6^2 +3^2 -2 \times 6 \times 3 \cos(60°) = 36+9-18 = 27 . Ainsi, AC = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}
A partir de là, on peut calculer l’angle recherché :
\begin{array}{rrl}& AC^2 &= AB^2+BC^2 - 2 AB.BC.\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\\
\iff & \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) &= \dfrac{AB^2+BC^2 -AC^2}{2AB.BC}\\
\Rightarrow & \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) &= \dfrac{36+27 -3}{18\times 3 \sqrt{3}}\\
\Rightarrow & \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) &= \dfrac{60}{54 \sqrt{3}}\\
\Rightarrow & \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) &= \dfrac{10}{9 \sqrt{3}}\\
\Rightarrow & \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}&\approx 50,1°
\end{array}On trouve donc que l’angle recherché vaut approximativement 50,3°.
