Le produit scalaire au lycée : Cours et exercices corrigés

Dans cet article, nous allons vous présenter ce qu’est le produit scalaire à travers ses différentes définitions, ses propriétés les plus importantes et des exercices corrigés.

Définition du produit scalaire

Soient \overrightarrow{u} (x,y) et \overrightarrow{v}(x',y') deux vecteurs du plan. Le produit scalaire entre \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} est défini par

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx'+yy'

Le produit scalaire entre deux vecteurs est un réel.

Lien avec la norme

On pose :

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}}

Cette quantité s’appelle la norme du vecteur \overrightarrow{u}

Propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire présente diverses propriétés de base :

• Symétrie : \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}
• Pour tout k réel, on a : (k\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v} = k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}.(k\overrightarrow{v})
• Distributivité : \overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}
• \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 0
• Soit \alpha l’angle entre \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}. On a alors \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= ||\overrightarrow{u}|| ||\overrightarrow{v}||\cos(\alpha)

On a aussi d’autres propriétés plus avancées :

• \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \frac{1}{2} (||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2)
• \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \frac{1}{2} ( ||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2- ||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2)
• \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \frac{1}{4} (||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 -( ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||)^2)
• Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}sont colinéaires alors \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|| \overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}|| (colinéaires dans le même sens) ou \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-|| \overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}|| (colinéaires dans le sens opposé)
• Si || \overrightarrow{u}|| = ||\overrightarrow{v}|| Alors (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) est orthogonal à (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})

On peut redémontrer facilement le théorème de Pythagore : On a la propriété suivante :

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2 = ||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2+2(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})

Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, on sait que \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0 . Et donc : ||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2.

Cette illustration permet de bien comprendre : si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont les côtes de l’angle droit alors \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} est l’hypothénuse.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Dans chacun des cas, calculer le produit scalaire de \overrightarrow{u} par \overrightarrow{v}

1. || \overrightarrow{u}||= 3, ||\overrightarrow{v}||= 2, (u;v) = 45°
2. || \overrightarrow{u}||= 8, ||\overrightarrow{v}||= 1, (u;v) = \pi rad
3. || \overrightarrow{u}||= 2, ||\overrightarrow{v}||= 1, (u;v) = 90°

Corrigé : Faisons le calcul directement à chaque fois :

1. \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 3\times 2 \times cos(45°) = 6 \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}
2. \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 8\times 1 \times cos(\pi) = -8
3. \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 2\times 1 \times cos(90°) =0

Exercice 2

Enoncé : Soit un carré ABCD de côté 8. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

Corrigé : Décomposons le vecteur pour faire les calculs : \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} . Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} étant perpendiculaires, on obtient :

\begin{array}{ll}
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} & =  \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} )\\
&=  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} \\
&= 8\times 8 + 0 \\
&= 64
\end{array}

La réponse attendue est donc 64.

Exercice 3

Enoncé : Soient les vecteurs \overrightarrow{u}(-6,5) et \overrightarrow{v}(2,8). Calculer

1. \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}
2. ( \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})
3. ||\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}||^2

Corrigé :
Question 1 : Calculons directement le résultat :

 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = -6 \times 2 + 5 \times 8 =-12+40 = 28

Question 2 : Calculons d’abord ( \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}) et ( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})

 \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v} = (-6,5)-(2,8) = (-8, -3)

Puis,

 \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} = (-6,5)+(2,8) = (-4, 13)

On peut ensuite calculer le produit scalaire :

\begin{array}{ll}
( \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})& = (-8, -3). (-4, 13)\\
&= -8\times(-4) -3\times 13\\
&= 32 - 39\\
&= -7
\end{array}

On aurait aussi pu utiliser la formule suivante :

( \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}) = || \overrightarrow{u}||^2-|| \overrightarrow{v}||^2

Question 3 : On connait déjà ( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}). On a donc :

\begin{array}{ll}
|| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}||^2 & = ||(-4, 13)||^2\\
&= (-4)^2 +13^2\\
&= 16+169\\
&= 185
\end{array}

Ce qui termine cet exercice !

Exercices

Exercice 1

Dans chacun des cas, calculer le produit scalaire de \overrightarrow{u} par \overrightarrow{v}

1. || \overrightarrow{u}||= 3, ||\overrightarrow{v}||= 2, (u;v) = 45°
2. || \overrightarrow{u}||= 8, ||\overrightarrow{v}||= 1, (u;v) = \pi
3. \overrightarrow{u}= (1,4), \overrightarrow{v}= (3,2)
4. \overrightarrow{u}= (4,1), \overrightarrow{v}= (5,8)

Exercice 2

On considère les points suivants A(-5;6),B(-2;-3),C(0;5),D(3;6) . Calculer les quantités suivantes :

1. \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC}
2. \overrightarrow{CB}. \overrightarrow{BD}
3. \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}
4. \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{AD}

Exercice 3

On considère ABC un triangle et H le pied de la hauteur issue de A. On a AB = 6, BH = 4 et HC = 5. Calculer les quantités suivantes :

1. \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}
2. \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH}
3. \overrightarrow{AH}. \overrightarrow{AC}
4. \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{CB}
5. \overrightarrow{HB}. \overrightarrow{CB}
6. \overrightarrow{AH}. \overrightarrow{BC}

Exercice 4

VRAI ou FAUX ?

1. Soient A,B et C trois points alignés distincts du plan. A, B, C sont alignés si et seulement si ] \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = AB\times AC
2. Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs tels que \overrightarrow{u}^2 \overrightarrow{v}^2 alors \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} ou \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{v}
3. Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs tels que \overrightarrow{u}^2 \overrightarrow{v}^2 alors \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ou \overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} sont orthogonaux.
4. Soient \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs tels que \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} . \overrightarrow{w} alors \overrightarrow{v} = \overrightarrow{w}
5. Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs tels que \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 3, ||\overrightarrow{u}||= \sqrt{6}, ||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{2} alors ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|| = \sqrt{2}

Exercice 5

On considère les points A, B et C tels que AB=3, AC= 4, (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=60°. Déterminer la longueur BC

Exercice 6

Soit ABCD un carré, I le milieu de [AB], J le milieu de [AD] et K le milieu de [ID].
Montrer que les droites (AK) et (BJ) sont perpendiculaires

Exercice 7

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs.

1. Démontrer l’inégalité appelée inégalité de Cauchy-Schwarz
2. Démontrer qu’il y a égalité si et seulement si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.