Qu’est-ce que la démonstration par l’absurde ? Nous allons vous expliquer cette méthode de démonstration à travers cet article.
Définition
La démonstration par l’absurde est une méthode de raisonnement qui consiste à postuler l’existence d’une affirmation et à en démontrer l’impossibilité en suivant un raisonnement logique. Cette méthode consiste à prouver l’existence d’une vérité en supposant l’absurdité de son contraire. Elle est souvent utilisée comme moyen de preuve pour établir la validité logique d’une thèse.
En philosophie
La démonstration par l’absurde a été utilisée dans le cadre de la philosophie depuis l’Antiquité. Le plus célèbre exemple est celui du philosophe grec Platon, qui a utilisé cette méthode pour prouver que le concept de bien existe réellement et ne peut être seulement imaginé ou espéré. La démonstration par l’absurde est également utilisée en mathématiques et en science.
Cette méthode repose sur une série de raisonnements logiques. La première étape consiste à postuler l’existence d’une affirmation, par exemple «Tous les humains sont immortels». La deuxième étape consiste alors à chercher des preuves qui refutent cette affirmation, par exemple des preuves qui montrent que certaines personnes meurent et qu’elles ne sont donc pas immortelles. La troisième étape consiste à démontrer que, puisque certaines personnes meurent, la première affirmation est fausse et donc que les humains ne sont pas immortels.
En science
La démonstration par l’absurde est une méthode très utile pour résoudre des problèmes logiques et pour prouver ou réfuter une thèse. En mathématiques, elle est souvent utilisée pour prouver l’existence ou le non-existence d’un nombre ou d’une fonction particulière. En sciences physiques, elle peut être utilisée pour prouver la validité d’une hypothèse scientifique ou pour confirmer ou infirmer une théorie particulière. Elle est également employée dans le cadre de la philosophie pour résoudre des questions morales et éthiques, ainsi que pour examiner des idées complexes liées à la nature humaine.
La démonstration par l’absurde est très utile pour prouver des propriétés mathématiques générales. Par exemple, en mathématiques discrètes, on peut utiliser cette méthode pour montrer qu’un ensemble fini ne peut pas être infini ; en considérant le contraire, un ensemble infini fini, on arrive rapidement à une contradiction logique.
Avec de la logique
D’un point de vue symboles logiques, la démonstration par l’absurde s’écrit (P \wedge \displaystyle \neg Q) \Rightarrow Q ce qui se lit en (P et non Q) implique Q. Ce qui signifie que si on suppose que sous nos hypothèses P, la proposition Q est fausse alors on montre que ce n’est pas possible et on aboutit à une contradiction.
Attention néanmoins : il ne faut pas confondre démonstration par l’absurde et démonstration par contraposée qui dit que (P \Rightarrow Q) \iff \displaystyle (\neg Q \Rightarrow \neg P) dit en français P implique Q est équivalent à non Q implique non P.
Applications
Pour démontrer que \sqrt{2} est irrationnel, on peut faire de nombreuses démonstration et notamment utiliser une démonstration par l’absurde.
De même, la démonstration la plus classique, de l’infinité des nombres premiers se fait par l’absurde !
En conclusion
Ainsi, la démonstration par l’absurde est une méthode robuste et efficace pour résoudre des problèmes mathématiques complexes et prouver des propriétés générales. Il s’agit d’une stratégie très utile pour démontrer des conjectures mathématiques ; elle permet aux mathématiciens d’arriver à des conclusions sans avoir à réfléchir aux étapes intermédiaires liée à sa résolution et contribue ainsi au progrès des mathématiques.
