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Cours Révisions du bac

Equation du cercle : Cours, méthode et exercices corrigés

Cet article a pour but de présenter comment calculer l’équation d’un cercle et reconnaitre de quel cercle il s’agit, à travers du cours, des exemples et des exercices corrigés.

Définition

L’équation cartésienne du cercle dans un plan s’écrit sous la forme :

(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2 

Avec :

  • (xA,yA) le centre du cercle
  • R le rayon du cercle

Donc si on on connait le rayon du cercle et son centre, il est facile d’en établir son équation cartésienne

Exercices corrigés et méthodes

Trouver l’équation du cercle à partir de son centre de son rayon

On a l’énoncé suivant : Soit le cercle de rayon 2 et de rayon (1,3). Trouver l’équation de ce cercle. On a, d’après la définition que l’équation s’écrit :

(x-1)^2 + (y-3) ^2 = 2^2

On va alors développer cette équation pour la simplifier :

x^2 -2x +1 +y^2 -6y +9 = 4

Puis, on va simplifier et mettre tous les éléments à gauche :

x^2 +y^2 -2x-6y +6 = 0

On a donc trouvé l’équation du cercle de centre (1,3) et de rayon 2.

Trouver le cercle à partir de son équation

Voici l’énoncé type :

Trouver le cercle associé à l’équation suivante :

x^2 - 2x + y^2 +6y = 0 

Pour cela, on va utiliser la forme canonique pour les termes en x :

\begin{array}{ll}
x^2 - 2 x & = x^2 - 2x +1 - 1 \\
&= (x-1)^2 -1 
\end{array}

Puis ceux en y :

\begin{array}{ll}
y^2 +6 x & = y^2 +6y +9 - 9 \\
&= (y+3)^2 -9
\end{array}

Si on rassemble les termes, on a maintenant :

 (x-1)^2 -1 + (y+3)^2 -9 = 0

On passe à droite les constantes :

 (x-1)^2  + (y+3)^2  = 10

Qu’on réécrit sous la forme :

 (x-1)^2  + (y+3)^2  = (\sqrt{10})^2

Il s’agit donc du cercle de centre (1,-3) et de rayon √10

Vérifier qu’un point appartient à un cercle

Enoncé : Soit le cercle d’équation

(x-2)^2+(y-4)^2 = 25

Le point (0;5) appartient-il au cercle ?

Pour cela, on remplace x et y par les coordonnées de notre point. On obtient alors :

(0-2)^2 +(5-4) ^2 = 5 \neq 25

Donc le point n’appartient pas au cercle car le membre de gauche n’est pas égal à 25.

Exercices

Exercice 1

Ecrire l’équation du cercle à partir des coordonnées du centre Ω​ et du rayon R :

\begin{array}{l}
1)\ \Omega = (1;6) , R= 4\\
2)\ \Omega = (5;3) , R= 2\\
3)\ \Omega = (7;4) , R= 6\\
\end{array}

Exercice 2

A partir du diamètre [AB], donner l’équation du cercle :

\begin{array}{l}
1)\ A= (1;6) , B=(2;3)\\
2)\ A= (2;5) , B=(3;2)\\
3)\ A= (4;5) , B=(1;1)\\
\end{array}

Exercice 3

Ecrire l’équation du cercle à partir des coordonnées du centre Ω​ et d’un point A :

\begin{array}{l}
1)\ \Omega = (1;6) , A= (1;3)\\
2)\ \Omega = (2;4) , A= (3;1)\\
3)\ \Omega = (4;2) , A= (5;5)\\
\end{array}

Exercice 4

Dans un repère orthonormé du plan, déterminer les coordonnées du centre et le rayon du cercle dont une équation est :

x^2+y^2 -12x + 4y -3 = 0 

Exercice 5

Dans un repère orthonormé du plan, déterminer les coordonnées du centre et le rayon du cercle dont une équation est :

\begin{array}{l}
1)\ x^2+y^2 = 0\\
2)\ x^2 + y^2 = - 1\\
3)\  (x-3)(x+2)+(y-5)(y+6)=0
\end{array}

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