Qu’est-ce qu’une conjecture ?

Cet article a pour but d’expliquer ce qu’est une conjecture et de répondre aux principales questions que l’ont peut se poser autour de ce thème

Définition d’une conjecture

Une conjecture est une assertion (c’est à dire une propriété) que l’on croit vraie mais qu’on n’a pas encore démontré. Cela peut être utilisé comme hypothèse pour démontrer d’autres résultats. Les mathématiciens peuvent se partager des conjectures que d’autres vont essayer de démontrer.

Donc, en regard de cette définition, si on se demande que veut dire conjecturer, cela veut dire émettre une hypothèse que l’ont croit vraie. La suite de cet article explique comment on en crée une et comment on la résout.

Comment rédiger une conjecture

Il s’agit de formuler de manière la plus claire et en des termes mathématiques, une hypothèse. Cette hypothèse correspond à une propriété mathématique.

Voici donc un exemple. Prenons cet exercice :

Calculons les premiers termes :

\begin{array}{l}
u_1 = 1 + 2 = 3 = 2^{2^0}+1\\
u_2 = 1\times 3 + 2 = 5 = 2^{2^1}+1\\
u_3 = 1\times 3 \times 5  +2 = 17=  2^{2^2}+1\\
u_4 = 1\times 3 \times 5 \times 17  +2 =257=  2^{2^3}+1
\end{array}

Sur cet exemple, le schéma qui se répète n’est pas forcément facile à trouver. Mais tel que je l’ai écrit, il est maintenant trouvable. Une fois qu’on a écrit ce qui est au-dessus, la conjecture arrive naturellement :

u_n = 2^{2^{n-1}}+1

Résultat qui se démontre typiquement par récurrence.

Comment démontrer qu’une conjecture est vraie

En fait cette question là est équivalente à comment faire une démonstration. En effet, pour démontrer une conjecture, on va donc valider l’hypothèse qu’on a émis précédemment. Sans rentrer dans les détails des types de démonstration, voici des exemples de type de démonstration :

• La démonstration directe
• L’implication, l’équivalence, la contraposée
• La récurrence
• La démonstration par l’absurde

Tout ces types de démonstration vont donc vous permettre d’arriver à vos fins.

Comment démontrer qu’une conjecture est fausse

La réponse est plus simple ici : Pour démontrer qu’une conjecture est fausse, il suffit d’un contre-exemple.
Voici un exemple avec les nombres de Mersenne. Le n-ième nombre de Mersenne M_n est le nombre de la forme

M_n = 2^n-1

Regardons les nombres de Mersenne pour les premiers nombres premiers :

\begin{array}{l}
M_2 = 2^2 - 1 = 3\\
M_3 = 2^3 - 1 = 7 \\
M_5 = 2^5 - 1 = 31\\
M_7 = 2^7-1 = 127
\end{array}

3, 7, 31 et 127 sont premiers. On peut donc émettre la conjecture suivante : Si n est premier alors M_n est premier.
Nous allons maintenant montrer que cette dernière est fausse. Pour cela, il suffit de trouver un contre-exemple. 11 est premier. Qu’en est-il de M₁₁ ?

M_{11} = 2^{11}-1 = 2047= 23 \times 89 

M₁₁ n’est donc pas premier (il a des diviseurs différents de 1 et lui-même). La conjecture est donc fausse. On a trouvé un contre-exemple, c’est suffisant pour affirmer qu’elle est fausse ! On ne peut donc pas dire que si n est premier, le n-ième nombre de Mersenne est premier. La propriété ” Si n est premier alors M_n est premier.” est fausse.

Un exemple de conjecture connue : La conjecture de Syracuse

Pour terminer cet article, nous allons parler de la conjecture de Syracuse, appelée aussi conjecture de Collatz. Elle a d’ailleurs plusieurs noms :

• Conjecture de Syracuse
• Conjecture de Collatz
• Problème de Kakutani
• Conjecture d’Ulam
• Conjecture de Thwaites
• Algorithme de Hasse
• 3N + 1

Elle a été proposée par le mathématicien allemand Lothar Collatz en 1937 et n’a toujours pas été résolue. En voici l’énoncé :

• Première étape : On choisit un nombre entier strictement positif
• Seconde étape : S’il est pair, on le divise par 2. Sinon on le multiplie par 3 et on lui ajoute 1.

La conjecture de Syracuse dit qu’on finit toujours par arriver à 1. Cette conjecture n’a toujours pas été démontrée.

Exemple avec 10 :
10 est pair donc on le divise par 2. On arrive à 5.
5 est impair, donc on le multiplie par 3 et on ajoute 1. 5 x 3 + 1 = 16
16 est pair donc on le divise par 2. On arrive à 8. Puis à 4, à 2 et enfin à 1.

Essayons avec 11 :
7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

Un peu plus long mais on finit par arriver à 1. Pour démontrer cette conjecture, il faudrait donc trouver un moyen systématique de tester le résultat car on ne peut pas tester “tous les nombres”.

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