Dans cet article, nous allons vous présenter le théorème du toit, un théorème de géométrie dans l’espace, plutôt intuitif
Enoncé du théorème du toit
Soient (d_1) et (d_2) deux droites de l’espace parallèles et distinctes. Considérons alors P_1 et P_2 deux plans contenant respectivement (d_1) et (d_2). Si les plans P_1 et P_2 sont sécants et non confondus, alors leur droite d’intersection (d') est parallèle à (d_1) et (d_2)
Démonstration du théorème du toit
Faisons une démonstration par l’absurde. Supposons que (d') n’est pas parallèle à (d_1). Notons \overrightarrow{v} un vecteur directeur de (d') et \overrightarrow{u} (d_1) et (d_2). C’est bien le même car ces deux droites sont parallèles.
Comme (d_1) et (d') sont contenus dans P_1, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} forment des vecteurs directeurs dans ce plan.
De même, comme (d_2) et (d') sont contenus dans P_2, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} forment des vecteurs directeurs dans ce plan.
On en déduit que P_1 et P_2 sont parallèles, ce qui est contradictoire avec le fait qu’ils soient sécants.
Donc (d') est parallèle à (d_1) et (d_2)
