Dans cet article, nous allons vous présenter la méthode pour résoudre des équations différentielles sans second membre. Il se veut introductif et nous aborderons dans un article suivant des seconds membres particuliers.
Prérequis
Cours
Nous allons nous intéresser aux équations différentielles d’ordre 2 sans second membre et à coefficients constants et voir comment les résoudre. On va donc chercher les solutions aux équations de la forme
ay'' + by' + c y= 0
avec a,b,c \in \R .
La méthode est la suivante : On cherche à résoudre ce qu’on appelle, comme pour les suites récurrentes d’ordre 2, le polynôme caractéristique.
On va donc résoudre l’équation
ar^2 + br +c = 0
On a alors 3 cas
Premier cas : Δ > 0
On va trouver deux racines distinctes : r_1 et r_2 . Dans ce cas, la solution s’écrit
y(t) = K_1 e^{r_1t} + K_2 e^{r_2t}Deuxième cas Δ = 0
Dans ce cas-là, on a une racine double, notée r . L’ensemble des solutions s’écrit alors
y(t) = (K_1 t + K_2) e^{rt}On rajoute dans un facteur en K_1x qui permet de “jouer le rôle” de la seconde racine et de générer un ensemble de solutions plus grand.
Troisième cas : Δ < 0
Cette fois, on a 2 racines complexes conjuguées : r_1 et \over{r_1} . L’ensemble des solutions s’écrit alors :
y(t) =K_1 e^{r_1t}+ K_2 e^{\over{r_1}t} Mais si on cherche des solutions réelles, on peut alors écrire la solution sous la forme :
y(t) = A\cos(r_1t)+ B \sin(r_1t)
Indépendamment de la valeur de Δ : Soit t_0 \in \R. Maintenant, si on impose :
\left\{ \begin{array}{ll}
y(t_0) = y_0\\
y'(t_0) = y_1
\end{array} \right.C’est-à-dire qu’on se place dans les conditions de Cauchy, alors l’équation différentielle a une solution unique.
Cas complexe
On suppose pour cette sous-partie que a,b,c \in \mathbb{C}. Dans ce cas, on résout aussi l’équation caractéristique
ar^2 +br + c =0
Si on a deux racines simples complexes r_1 et r_2, alors les solutions s’écrivent de manière générale :
y(t) = K_1 e^{r_1t} + K_2 e^{r_2t}Et si on a une racine double, dans le cas complexe, on a aussi pour une racine double r :
y(t) = (K_1t + K_2) e^{rt}Exemples
Exemple 1 : Résoudre l’équation différentielle suivante : y'' -5y' + 6y = 0
On résoud l’équation caractéristique :
r^2 - 5r +6= 0
On calcule le discriminant :
\Delta = (-5)^2 -4\times 6 =1
L’équation caractéristique a alors 2 racines :
\left\{ \begin{array}{ll}
r_1 = \dfrac{5-1}{2}=2\\
r_2 = \dfrac{5+1}{2}=3
\end{array} \right.Les solutions sont donc de la forme
y(t) = K_1 e^{2t} + K_2 e^{3t}Exemple 2 : Résoudre l’équation différentielle y'' -3 y' -4y = 0 avec les conditions initiales suivantes :
\left\{ \begin{array}{ll}
y(0) = 1\\
y'(0) = 2
\end{array} \right.Écrivons l’équation caractéristique :
r^2 -3r-4 = 0
On calcule le discriminant
\Delta = (-3)^2 +4 \times 4 = 25 = 5^2
L’équation caractéristique a 2 racines :
\left\{ \begin{array}{ll}
r_1 = \dfrac{3-5}{2}=-1\\
r_2 = \dfrac{3+5}{2}=4
\end{array} \right.On a alors un ensemble solution de la forme :
y(t) = A e^{-t} + Be^{4t} Maintenant, utilisons les conditions initiales pour trouver A et B uniques. Calculons la dérivée de y , nous en avons besoin :
y'(t) = -Ae^{-t} + 4Be^{4t} On a alors :
\left\{ \begin{array}{ll}
y(0) = 1= A +B \\
y'(0) = 2 = -A+4B
\end{array} \right.Ajoutons la 1ère ligne à la seconde ligne pour obtenir B :
\left\{ \begin{array}{ll}
1= A +B \\
3 = 5B
\end{array} \right.On peut alors trouver A :
\left\{ \begin{array}{ll}
A= 1 -B = \dfrac{2}{5} \\
B = \dfrac{3}{5}
\end{array} \right.La solution unique est donc :
y(t) = \dfrac{2}{5} e^{-t} + \dfrac{3}{5} e^{4t}Exemple 3 : Résoudre l’équation différentielle suivante y'' +4y' +4 y = 0. L’équation caractéristique s’écrit r^2 +4r+4 = 0. On reconnaît une identité remarquable : (r+2)^2 = 0. -2 est donc une racine double.
Les solutions sont alors de la forme :
y(t) = (At+B) e^{-2t}, A,B \in \R
