Le théorème fondamental de l’analyse : Enoncé et démonstration

Le théorème fondamental de l’analyse fait le lien entre une fonction et sa primitive. Lorsqu’on calcule des intégrales, on l’utilise souvent sans le savoir.

Enoncé du théorème fondamental de l’analyse

Soit I un intervalle non réduit à un point et f une fonction continue sur I et un point a \in I . On a :

• La fonction F : \displaystyle \int_a^x f(t) dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
• Si G est une primitive de f alors G-F est constante. A fortiori \forall x \in I, \displaystyle \int_a^x f(t) dt= G(x) - G(a)

Ce théorème s’appelle le théorème fondamental de l’analyse. C’est celui-ci qui permet de calculer des intégrales à l’aide du calcul d’une primitive.

Démonstration du théorème fondamental de l’analyse

Montrons que F est une primitive de f sur I. Soient x_0 \in I, \varepsilon > 0 . On sait qu’il existe \alpha >0 tel que |x_0-t| \leq \alpha \Rightarrow |f(x_0)-f(t) |\leq \varepsilon

Maintenant, on va écrire t = x_0 + h \in I . On utilise la relation de Chasles et la continuité de l’intégrale pour écrire :

\begin{array}{ll}
&\left|\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|\\
 \leq &\left| \dfrac{1}{h}\left( \displaystyle \int_{a}^{x_0+h}f(t) dt -\int_{a}^{x_0}f(t) dt-\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt\right)  \right|\\
 \leq &\left| \dfrac{1}{h}\left( \displaystyle \int_{a}^{x_0+h}f(t) dt +\int_{x_0}^{a}f(t) dt-\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt\right)  \right|\\
 \leq &\left| \dfrac{1}{h}\left( \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}f(t) dt -\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt\right)  \right|\\
 \leq &\left| \dfrac{1}{h}\left( \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}f(t) -f(x_0)dt\right)  \right|\\
 \leq & \dfrac{1}{|h|}\left|\left( \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}\left|f(t) -f(x_0)\right|dt\right) \right| \\
 \leq & \dfrac{1}{|h|}\left|\left( \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}\varepsilon dt\right)\right|  
\end{array}

On a aussi utilisé l’inégalité triangulaire pour les intégrales. Cette dernière expression est égale à \varepsilon . On a donc montré :

\left(|x_0-t| \leq \alpha \Rightarrow |f(x_0)-f(t) |\leq \varepsilon\right) \Rightarrow \left|\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|\leq \varepsilon

Ainsi, F est dérivable en x_0 avec pour dérivée en ce point F'(x_0) = f(x_0). Il est évident qu’elle s’annule en a. Nous allons prouver avec le second point que c’est la seule.

Maintenant, passons au second point. Soit G une autre primitive de f. On sait que (G-F)'= f-f est nulle. L’inégalité des accroissements finis nous dit que \forall a,b \in I |(G-F) (b) - (G-F)(a) |\leq M_{a,b} |b-a| avec M_{a,b} = \displaystyle \max_{x \in [a,b]} |(G-F)'(t)| = 0 . Donc G-F est une fonction constante. Ainsi, F est la seule primitive à s’annuler en a.

On peut donc écrire \exists C \in \R, G = F+C . Ainsi G(x) - G(a) = F(x) +C - (F(a) +C) = F(x) - F(a) ce qui nous prouve le second point.

Remarque : F est de classe C^1