Le théorème fondamental de l’analyse : Enoncé et démonstration

Qu’est-ce que le théorème fondamental de l’analyse ? Découvrez-le dans cet article qui en fait la démonstration !
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Le théorème fondamental de l’analyse fait le lien entre une fonction et sa primitive. Lorsqu’on calcule des intégrales, on l’utilise souvent sans le savoir.

Enoncé du théorème fondamental de l’analyse

Soit I un intervalle non réduit à un point et f une fonction continue sur I et un point a \in I . On a :

  • La fonction F : \displaystyle \int_a^x f(t) dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
  • Si G est une primitive de f alors G-F est constante. A fortiori \forall x \in I, \displaystyle \int_a^x f(t) dt= G(x) - G(a)

Ce théorème s’appelle le théorème fondamental de l’analyse. C’est celui-ci qui permet de calculer des intégrales à l’aide du calcul d’une primitive.

Démonstration du théorème fondamental de l’analyse

Montrons que F est une primitive de f sur I. Soient x_0 \in I, \varepsilon > 0 . On sait qu’il existe \alpha >0 tel que |x_0-t| \leq \alpha \Rightarrow |f(x_0)-f(t) |\leq \varepsilon

Maintenant, on va écrire t = x_0 + h \in I . On utilise la relation de Chasles et la continuité de l’intégrale pour écrire :

\begin{array}{ll}
&\left|\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|\\
 \leq &\left| \dfrac{1}{h}\left( \displaystyle \int_{a}^{x_0+h}f(t) dt -\int_{a}^{x_0}f(t) dt-\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt\right)  \right|\\
 \leq &\left| \dfrac{1}{h}\left( \displaystyle \int_{a}^{x_0+h}f(t) dt +\int_{x_0}^{a}f(t) dt-\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt\right)  \right|\\
 \leq &\left| \dfrac{1}{h}\left( \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}f(t) dt -\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt\right)  \right|\\
 \leq &\left| \dfrac{1}{h}\left( \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}f(t) -f(x_0)dt\right)  \right|\\
 \leq & \dfrac{1}{|h|}\left|\left( \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}\left|f(t) -f(x_0)\right|dt\right) \right| \\
 \leq & \dfrac{1}{|h|}\left|\left( \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}\varepsilon dt\right)\right|  
\end{array}

On a aussi utilisé l’inégalité triangulaire pour les intégrales. Cette dernière expression est égale à \varepsilon . On a donc montré :

\left(|x_0-t| \leq \alpha \Rightarrow |f(x_0)-f(t) |\leq \varepsilon\right) \Rightarrow \left|\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|\leq \varepsilon

Ainsi, F est dérivable en x_0 avec pour dérivée en ce point F'(x_0) = f(x_0). Il est évident qu’elle s’annule en a. Nous allons prouver avec le second point que c’est la seule.

Maintenant, passons au second point. Soit G une autre primitive de f. On sait que (G-F)'= f-f est nulle. L’inégalité des accroissements finis nous dit que \forall a,b \in I |(G-F) (b) - (G-F)(a) |\leq M_{a,b} |b-a| avec M_{a,b} = \displaystyle \max_{x \in [a,b]} |(G-F)'(t)| = 0 . Donc G-F est une fonction constante. Ainsi, F est la seule primitive à s’annuler en a.

On peut donc écrire \exists C \in \R, G = F+C . Ainsi G(x) - G(a) = F(x) +C - (F(a) +C) = F(x) - F(a) ce qui nous prouve le second point.

Remarque : F est de classe C^1

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