La base canonique est un concept important lorsqu’on travaille avec des espaces vectoriels. Découvrez ce qu’est une base canonique et les exemples connus de ces bases canoniques.
Définition de la base canonique
Certains espaces vectoriels possèdent une base naturelle dite canonique. Cette base est la plus naturelle à prendre pour un espace vectoriel donné. La base canonique d’un espace vectoriel est bien une base, c’est à dire une famille libre et génératrice.
Tous les espaces vectoriels n’ont pas nécessairement une base canonique.
Exemples
Base canonique de Kn
Dans cet espace vectoriel, on va définir la base canonique (e_1, \ldots, e_n) selon la définition suivante :
e_i = (\delta_{1,i},\ldots,\delta_{n,i})où \delta représente le symbole de Kronecker, c’est à dire que le seul terme de (e_i) non nul est le i-ème terme
Par exemple, dans \mathbb{R}^2 , la base canonique est définie par :
e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)
Et dans \mathbb{R}^3 :
e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)
N-B : On peut aussi définir la base canonique de \mathbb{C}^n en tant que \mathbb{R}-espace vectoriel via
\begin{array}{ll}
e_1 = (1,0,\ldots, 0)\\
e_2 = (i,0,\ldots,0)\\
e_3 = (0,1,0,\ldots,0)\\
e_4 = (0,i,0,\ldots,0)\\
\vdots \\
e_{2n-1} = (0,\ldots,0,1)\\
e_{2n} = (0,\ldots,0,i)\\
\end{array}Base canonique des matrices
Pour les matrices ce sont les matrices E_{i,j} qui définissent la base canonique. Pour rappel, les matrices E_{i,j} ont le terme de la ligne i et de la colonne j qui vaut 1 et 0 partout ailleurs.
Base canonique des polynômes
Soit \mathbb{K} un corps. La base canonique de l’espace vectoriel des polynômes \mathbb{K}[X] est définie par (X^n)_{n \in \mathbb{N}}, donc par les monômes. On en a une infinité.
Pour l’espace vectoriel des polynômes de degré au plus n, \mathbb{K}_n[X], on a comme base canonique (1,X,\ldots,X^n)
