Cette article à pour but de présenter la table de vérité et principaux opérateurs logiques. La négation, la conjonction et la disjonction seront introduis, toutefois implication et équivalence justifie à elle seul un article qui viendra compléter celui-ci pour ne pas le surcharger.
Tables de vérité
La manière de considérer les phrases comme objets mathématiques porte le nom de calcul booléen ou algèbre de Boole. Cette théorie est une base de l’informatique.
Les tables de vérités ont pour but de déterminer étant donné des phrases abstraites, les différentes situations concernant la véracité de celle-ci. Leur intérêt réside surtout dans la manière de bien se mettre d’accord sur le sens que l’on donne à l’opérateur de disjonction “et”, l’opérateur de conjonction “ou”, et l’opérateur de négation “non”.
Pour une phrase “A” uniquement, celle-ci à deux options, le tableau n’est pas très intéressant
| A |
| Vrai |
| Faux |
Dès lors qu’une deuxième phrase “B” intervient, et sans information supplémentaire, quatre situations peuvent se présenter:
| A | B |
| Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux |
| Faux | Vrai |
| Faux | Faux |
L’ordre de présentation des lignes importe peu, ce qui compte est que toute situation possible soit présentée.
La suite de cette article introduit les principaux connecteurs logiques.
- La négation d’une phrase “A” est la phrase “non A”, vrai lorsque “A” est fausse, fausse lorsque “A” est vrai.
Dans la littérature on trouve la notation “ \neg “, très peu utilisé au début de votre apprentissage.
| A | B | non A | non B |
| Vrai | Vrai | Faux | Faux |
| Vrai | Faux | Faux | Vrai |
| Faux | Vrai | Vrai | Faux |
| Faux | Faux | Vrai | Vrai |
Conjonction et disjonction
- La conjonction est un opérateur logique prenant deux phrases d’entrées “A” et “B”, et défini la phrase “A et B” comme vrai lorsque “A” et “B” sont simultanément vrai, et fausse dans tout autre cas, dans la littérature “ \land “.
| A | B | A et B |
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Faux |
| Faux | Faux | Faux |
- La disjonction prend aussi deux entrées, noté “A ou B”, est vrai lorsqu’au moins l’une des phrases est vrai, dans la littérature “ \lor “
| A | B | A ou B |
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Vrai |
| Faux | Vrai | Vrai |
| Faux | Faux | Faux |
Elle est à ne pas confondre avec la disjonction stricte, c’est à dire le “ou exclusif” qui se doit d’être explicité dans une démonstration. Très utilisé dans le langage courant, “ou” sous-entend “ou exclusif”, comme dans “fromage ou dessert” au restaurant. Le “ou exclusif” demande de plus que “A” et “B” soit non simultanément vrai.
| A | B | A ou (exclusif) B |
| Vrai | Vrai | Faux |
| Vrai | Faux | Vrai |
| Faux | Vrai | Vrai |
| Faux | Faux | Faux |
Certaines phrases sont toujours vraies, et d’autres toujours fausses
| A | non A | non A ou A |
| Vrai | Faux | Vrai |
| Faux | Vrai | Vrai |
Propositions équivalentes
Deux phrases sont équivalentes si elles ont toujours la même valeur de véracité
On note temporairement “A \sim B” dans ce cas.
| A | B | C | A et B | (A et B) et C | B et C | A et (B et C) |
| Vrai | Vrai | Vrai | Vrai | Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Vrai | Faux | Vrai | Faux | Faux | Faux |
| Vrai | Faux | Vrai | Faux | Faux | Faux | Faux |
| Vrai | Faux | Faux | Faux | Faux | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Vrai | Faux | Faux | Vrai | Faux |
| Faux | Vrai | Faux | Faux | Faux | Faux | Faux |
| Faux | Faux | Vrai | Faux | Faux | Faux | Faux |
| Faux | Faux | Faux | Faux | Faux | Faux | Faux |
Ici en particulier, on montre que “[(A et B) et C] \sim [A et (B et C)]”.
Cette exemple montre l’associativité de la Conjonction, il permet de noter sans ambiguïté “A et B et C”.
L’intérêt se révèle lorsque les opérateurs sont combinés, pour construire des phrases plus complexe. Ses règles sont omniprésente en démonstration.
Elles font partie des compétences les plus importantes du mathématicien, savoir enchainer plusieurs opérateurs sans se perdre, passer d’une phrase à une reformulation équivalente.
Exercices
- Montrer l’associativité de la disjonction “[(A ou B) ou C] \sim [A ou (B ou C)]”
- Montrer que “[(A ou B) et C] \ne [A ou (B et C)]”, ce qui justifie les parenthèse et une attention lorsque exprimer à l’oral
- Montrer la distributivité de la conjonction sur la disjonction “[A et (B ou C)] \sim [(A et B) ou (A et C)]”
- Montrer la distributivité de la disjonction sur la conjonction “[A ou (B et C)] \sim [(A ou B) et (A ou C)]”
- Montrer que la négation se distribue en échangeant la disjonction en conjonction, et vice-versa, “[non(A et B)] \sim [non(A) ou non(B)]”, et “[non(A ou B)] \sim [non(A) et non(B)]”
- Réduire “non( A et non(B) ) ou non( B et C ) ou non(non(C) et non(A))”.
