Dans cet article nous allons définir la notion d’équation différentielle et nous intéresser particulièrement aux propriétés des équations différentielles linéaires d’ordre 1.
Prérequis
- La fonction exponentielle
- Dérivées
- Primitives usuelles – Intégration par parties – Changement de variable
Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction qui implique f et ses dérivées. On peut donc l’écrire sous la forme
q(f,f',\ldots, f^{(n)})= 0 Par exemple, l’équation
y+ x^2y' - e^x y'' =0
est une équation différentielle
L’équation yy'y'' = 1 est une équation différentielle.
L’ordre d’une équation différentielle correspond au rang de la plus grande dérivée qui intervient dans l’équation.
Une équation différentielle d’ordre 1 ne fait donc intervenir que f et sa dérivée.
Équation différentielle linéaire
Celle-ci met en relation f et ses dérivées sous une forme bien particulière :
a_n f^{(n)} + \ldots + a_1 f' + a_0 f = b où (a_0, a_1, \ldots, a_n, b ) sont des fonctions.
Dans la suite de cet article nous allons nous intéresser aux équations différentielles linéaires d’ordre 1.
Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 1
Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 s’écrit sous la forme
ay' + by = c
avec (a,b,c) trois fonctions.
Équation homogène
Pour résoudre une équation différentielle linéaire on commence par résoudre l’équation homogène. On appelle équation homogène, l’équation différentielle sans second membre, c’est-à-dire :
ay' + by = 0
On se place sur un intervalle sur lequel a ne s’annule pas. Réécrivons l’équation sous la forme
y' + \dfrac{b}{a}y = 0 La solution à cette équation différentielle est alors
y(x) = K \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right), K \in \RSolution particulière et principe de superposition
Si on connait les solutions de l’équation homogène et une solution particulière alors on connait toutes les solutions car si y_1 vérifie ay_1'+ by_1 = 0 et y_2 vérifie ay_2'+ by_2 = c alors la somme vérifie
ay_1'+ by_1 + ay_2'+ by_2 = 0+c \iff a(y_1' +y_2')+ b(y_1+y_2) = c
Donc y_1+y_2 est bien solution de l’équation différentielle
Conclusion : il suffit de trouver une solution générale et toutes les solutions de l’équation homogène
Trouver une solution particulière
Pour cela, on utilise la méthode de variation de la constante.
Finalement, la forme générale d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 est :
y(x) = e^{-A(x)} \left( K+ \int_{x_0}^x \dfrac{a(t)}{c(t)} e^{A(t)} \mathrm{dt}\right)où A est une primitive de \dfrac{b}{a}
En résumé, on écrit la solution sous la forme
y = y_H + y_p
Où [kate]y_H[/katex] est une solution à l’équation homogène et y_p une solution particulière.
Condition initiale
On appelle condition initiale d’une équation différentielle le fait d’imposer une valeur de la fonction en un point.
On se place encore sur un intervalle I où a ne s’annule pas. Soit x_0 \in I. Alors il existe une unique solution à l’équation différentielle.
\left\{ \begin{array}{l}
ay'+by = c \\
y(x_0) = y_0
\end{array}\right.Une telle équation s’appelle un problème de Cauchy.
Exemple : En reprenant l’exemple 2 de la méthode de variation de la constante : y'-y =\exp(x) et en rajoutant la contrainte y(1) = 2. On avait comme solution :
y(x) = (c+1) \exp(x)
Résolution :
y(1)=2 \iff (c+1)e = 2 \iff c = \dfrac{2}{e} -1 
